江苏省扬州市江大桥高级中学2025年数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

江苏省扬州市江大桥高级中学2025年数学高一上期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A.4 B.
C.8 D.9
3．方程的解所在的区间是
A B.
C. D.
4．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
5．已知，，，则的边上的高线所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
6． “ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A.与
B.与
C.与
D.与
8．已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）
A. B.
C. D.
10．若||=1，||=2，||=，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
12．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
13．已知角的终边经过点，则的值等于______.
14．已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________
15．若函数在区间内为减函数，则实数a的取值范围为___________.
16．若函数关于对称，则常数的最大负值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
18．已知集合，记函数的定义域为集合B.
（1）当a=1时，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得
（1）若，求；
（2）若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围
20．甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”.已知A，B，C是相互独立事件.
（1）求；
（2）写出事件包含的所有互斥事件，并求事件发生的概率.
21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】先将不等式转化为对应函数最值问题：,再根据函数单调性求最值，最后解不等式得结果.
【详解】因为对任意，总存在，使得，所以,
因为当且仅当时取等号,所以，
因为,所以.
故选：C.
【点睛】对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，

2、C
【解析】由已知可得，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为正数x，y满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
故选：C
【点睛】此题考查基本不等式应用，利用了“1”的代换，属于基础题
3、C
【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.
考点：函数与方程.
4、A
【解析】∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
5、A
【解析】先计算，得到高线的斜率，又高线过点，计算得到答案.
【详解】，高线过点
∴边上的高线所在的直线方程为，即.
故选
【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为是解题的关键.
6、A
【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论
【详解】解：当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的充分不必要条件；
故选：A
7、B
【解析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可
【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；
由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；
在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，
在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；
由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；
故选：B.
8、B
【解析】依题意画出函数图象，结合图象可知且，，即可得到，则，再令，根据二次函数的性质求出的取值范围，最后根据对勾函数的性质计算可得；
【详解】解：因，所以函数图象如下所示：

由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，，
又在上单调减，，即.
故选：B.
9、C
【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.
【详解】长、宽、高之和不超过，.
故选：.
10、B
【解析】由题意把||两边平方，结合数量积的定义可得
【详解】||＝1，||＝2，与的夹角θ，
∴||27，
∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，
解得cosθ
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
12、－8
【解析】答案：－8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角．
13、
【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
因此，.
故答案为：.
14、
【解析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解.
【详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以.
故答案为：

【点睛】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算.
15、
【解析】由复合函数单调性的判断法则及对数函数的真数大于0恒成立，列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解：因为，函数在区间内为减函数，
所以有，解得，
所以实数a的取值范围为，
故答案为：.
16、
【解析】根据函数的对称性，利用，建立方程进行求解即可
【详解】若关于对称，
则，
即，
即，
则，
则，，
当时，，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.
【解析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；
（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；
（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）为中点，为正三角形，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
,,.
（2）证明：连结交于点，连结.
由四边形为正方形知点为的中点，又为的中点，，
平面，平面，平面.
（3）存在点，当为中点时，平面平面.
证明如下：因为四边形是正方形，为的中点，
，
由(1)知：平面，平面，，
又，平面.
平面，平面平面.

【点睛】关键点点睛：本题第三问考查了与面面垂直有关的存在性问题的处理，解题关键是能够根据平面确定只要在上，必有，由此只需找到与面中的另一条与相交的直线垂直即可，进而锁定的位置.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）化简集合A,B，根据集合的并集运算求解；
（2）由充分必要条件可转化为，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
当则定义域
又，
所以
【小问2详解】
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以
又
所以仅需即
19、（1）
（2）或
【解析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【小问1详解】
当时，集合，集合，所以；
【小问2详解】
i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.
20、（1）
（2）互斥事件有：，
【解析】（1）根据相互 独立事件的乘法公式列方程即可求得.
（2）直接写出事件包含的互斥事件，并利用对立事件的概率公式求事件发生的概率即可.
【小问1详解】
由题意知，
A，B，C为相互独立事件，
所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率

乙击中目标而丙没有击中目标的概率，
解得，.
【小问2详解】
事件包含的互斥事件有：
，
.
21、（1）
（2）100百辆时，1300万元
【解析】（1）分和，由利润=销售额减去成本求解；
（2）由（1）的结果，利用二次函数和对勾函数的性质求解.
【小问1详解】
解：由题意得当，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
当时，
由对勾函数，当时，
，时，，
时，
即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元