2025-2026学年吉林省长春市德惠市九校数学高一上期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年吉林省长春市德惠市九校数学高一上期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数是上的奇函数，且对任意实数、当时，都有.如果存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2．三个数大小的顺序是
A. B.
C. D.
3．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．下列运算中，正确的是（）
A. B.
C. D.
5．圆O1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆O2：x2+y2﹣14x﹣2y+14＝0的位置关系是（　　）
A.相离 B.内含
C.外切 D.内切
6．在中，，则等于
A. B.
C. D.
7．已知函数是奇函数，则
A. B.
C. D.
8．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
A B.
C. D.
9．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=×（弦×矢+矢）．弧田（如图1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为2米的弧田（如图2），则这个弧田面积大约是（）平方米．（，结果保留整数）

A.2 B.3
C.4 D.5
10．设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点，点P是圆上任意一点，则面积的最大值是______.
12．设向量不平行，向量与平行，则实数_________.
13．函数的零点个数为___
14．已知，且，则______
15．若，则__________
16．已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的最小正周期、最大值、最小值；
（2）求函数的单调区间；
18．已知cosα=-，α第三象限角，求
（1）tanα的值；
（2）sin（180°+α）cos（-α）sin（-α+180°）+cos（360°+α）sin（-α）tan（-α-180°）的值
19．函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求函数的最小值
20．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）解关于的不等式：.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】∵f（x）是R上的奇函数，
∴，
不妨设a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等价于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）
∴不等式等价于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，
∵存在实数使得不等式c2+c＜2x成立，
∴c2+c＜6，即c2+c﹣6＜0，
解得，，
故选A
点睛：处理抽象不等式的常规方法：利用单调性及奇偶性，把函数值间的不等关系转化为具体的自变量间的关系；同时注意区分恒成立问题与存在性问题.
2、B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：，即；，即；，即；所以，故正确答案为选项B
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法
3、B
【解析】利用函数的定义域、奇偶性、单调性等性质分别对各选项逐一判断即可得解.
【详解】对于A，函数图象总在x轴上方，不是奇函数，A不满足；
对于B，函数在R上递增，且，该函数是奇函数，B满足；
对于C，函数是偶函数，C不满足；
对于D，函数定义域是非零实数集，而，D不满足.
故选：B
4、C
【解析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
5、D
【解析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.
【详解】由题得圆O1：它表示圆心为O1（3,-2）半径为1的圆；
圆O2：，它表示圆心为O2（7,1），半径为6的圆.
两圆圆心距为，
所以两圆内切.
故选：D
【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出的三角函数值，求出的大小，然后求出的值即可
详解：由，
则，
因为位三角形的内角，所以，所以，故选C
点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力
7、A
【解析】由函数的奇偶性求出，进而求得答案
【详解】因为是奇函数，所以，
即，则，
故.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题
8、D
【解析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故选：D
9、A
【解析】先由已知条件求出，然后利用公式求解即可
【详解】因为，所以，
在中，，所以,
所以，
所以这个弧田面积为，
故选：A
10、C
【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求
【详解】∵由已知可得r，
而|AB|，
∴|AB|r
故选C
【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由点可得直线AB的方程及的值，可得圆心到直线AB的距离d及P到直线AB的最大距离，可得面积的最大值是.
【详解】解：直线AB的方程为，圆心到直线AB的距离，点P到直线AB的最大距离为.故面积的最大值是.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及两点间距离公式等，需综合运用所学知识求解.
12、-2
【解析】因为向量与平行，
所以存在，使，
所以， 解得
答案：
13、2
【解析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.
【详解】当x≤0时，，
∵，故此时零点为；
当x＞0时，在上单调递增，
当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点.
故答案为：2.
14、##
【解析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.
【详解】由题设，，
又，即，且，
所以，故.
故答案为：
15、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
16、
【解析】先判断函数奇偶性，再判断函数的单调性，从而把条件不等式转化为简单不等式.
【详解】由函数定义域为R，
且，
可知函数为奇函数.
，令
则，令
则即在定义域R上单调递增，
又，
由此可知，当时，即，函数即为减函数；
当时，即，函数即为增函数，
故函数在R上的最小值为，
可知函数在定义域为R上为增函数.
根据以上两个性质，不等式
可化为，
不等式等价于即
解之得或
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），最大值1，最小值-1；（2）在上单调递增；上单调递减；
【解析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求的最小正周期、最大值、最小值；
（2）利用的性质求函数的单调区间即可.
【详解】（1），
∴，且最大值、最小值分别为1，-1；
（2）由题意，当时，单调递增，
∴，，单调递增；
当时，单调递减，
∴，，单调递减；
综上，当，单调递增；
，单调递减；
【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据性质确定三角函数的单调区间.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据为第三象限角且求出的值，从而求出的值
（1）将原式利用诱导公式化简以后将的值代入即可得解
【详解】解：（1）∵cosα=-，α是第三象限角，∴sinα=-=-，
tanα==2
（2）sin（180°+α）cos（-α）sin（-α+180°）+cos（360°+α）sin（-α）tan（-α-180°）
=-sinα•cosα•sinα+cosα•（-sinα）•（-tanα）
=-cosαsin2α+sin2α=•+=
【点睛】当已知正余弦的某个值且知道角的取值范围时可直接利用同角公式求出另外一个值．关于诱导公式化简需注意“奇变偶不变，符号看象限”
19、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
【小问2详解】
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
20、（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
（2）由函数的单调性和零点存在定理，列不等式求解即可.
（3）由对勾函数的性质可得函数的单调区间，利用分类讨论的思想讨论定义域与单调区间的关系，再利用函数的最值存在性问题求出实数的值.
【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，设，
则，
易证在为单调减函数，在为单调增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上减函数，在上为增函数，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为4.
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题、零点存在定理、对勾函数的应用，考查了理解辨析的能力、数学运算能力、分类讨论思想和转化的数学思想，属于一般题目.
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简，即可得到化简结果；（2）结合（1）得到的结果，将问题转化为齐次式进行求解，即可计算出结果；（3）结合（1）得到的结果，将其转化为不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为，，
，，
，，
，
.
（2）由（1）可知
，
=11
（3）因为，
可转化为
整理可得，
则，
解得，
故不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：解答第一问时关键是需要熟练掌握诱导公式，对其进行化简，并能结合同角三角函数关系计算结果，解答第二问时可以将其转化为齐次式，即可计算出结果.