2025-2026学年全国名校大联考数学高一第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年全国名校大联考数学高一第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于

A. B.
C. D.
2．（ ）
A B.
C. D.
3．的值域是（）
A. B.
C. D.
4．三个数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
6．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A.众数 B.平均数
C.标准差 D.中位数
8．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
9．若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（　　）
A.b＞c＞a B.a＞b＞c
C.c＞a＞b D.a＞c＞b
10．已知函数，则（ ）
A.-1 B.2
C.1 D.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．两平行线与的距离是__________
12．函数为奇函数，当时，，则______
13．函数在上的最小值为__________.
14．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从___________年(填年份)开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据：，)
15．已知，，且，则的最小值为________.
16．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在R上的奇函数
（1）用定义法证明为增函数；
（2）对任意，都有恒成立，求实数k的取值范围
18．已知角是第三象限角，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
19．（1）已知方程，的值
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值
20．北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨盛会的举行，不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为（万元），其中与之间的关系为：通过市场分析，当每千件件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完若将产品单价定为400元
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．已知圆的方程为：
（1）求圆的圆心所在直线方程一般式；
（2）若直线被圆截得弦长为，试求实数的值；
（3）已知定点，且点是圆上两动点，当可取得最大值为时，求满足条件的实数的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】取的中点，则由三角形的中位线的性质可得平行且等于的一半，故或其补角即为异面直线与所成的角．设正方体的棱长为1，则，，故为等边三角形，故∠EGH=60°
考点：空间几何体中异面直线所成角．
【思路点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，体现了等价转化的数学思想．取的中点，由三角形的中位线的性质可得或其补角即为异面直线与所成的角．判断为等边三角形，从而求得异面直线与所成的角的大小
2、A
【解析】由根据诱导公式可得答案.
【详解】
故选：A
3、A
【解析】先求得的范围，再由单调性求值域
【详解】因，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，
故选：A.
4、A
【解析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性结合中间量法即可求解
【详解】解：，
，
，

故选：A
5、D
【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案
【详解】解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又单调递减，所以得，即，
故选：D.
6、D
【解析】根据题意，函数与图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为关于x的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数与图像有两个交点，
作出函数图像，如图，

所以时，函数与图像有两个交点，
所以实数m的取值范围是
故选：D
7、C
【解析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.
【详解】A样本数据是：，
样本数据是：，
A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；
A样本的平均数是，
B样本的平均数是，故B错；
A样本的标准差
B样本的标准差，
，故C正确；
A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.
故选：C
8、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
9、D
【解析】把化为以为底的指数和对数，利用中间值“”以及指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】，，
，
又因为为增函数，
所以，即
综上可得，a＞c＞b
故选：D
【点睛】本题考查了利用中间值以及函数的单调性比较数的大小，属于基础题.
10、A
【解析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果.
【详解】∵在这个范围之内，
∴
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数求函数值的问题，考查运算求解能力，是简单题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接根据两平行线间的距离公式得到平行线与的距离为：

故答案为.
12、
【解析】根据对数运算和奇函数性质求解即可.
【详解】解：因为函数为奇函数，当时，
所以．
故答案为：
13、
【解析】正切函数在给定定义域内单调递增，
则函数的最小值为.
14、2021
【解析】根据条件列指数函数，再解指数不等式得结果.
【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2015年开始增加的年份数，由题意可得，，得，
两边取对数可得，∴，得，解得，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.
故答案为：2021
15、12
【解析】，展开后利用基本不等式可求
【详解】∵，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12
故答案为：12
16、
【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为

考点：球的表面积
点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数单调性定义及指数函数的单调性与值域即可证明；
（2）由已知条件，利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.
【小问1详解】
证明：设，则，
由，可得，即，又，，
所以，即，则在上为增函数；
【小问2详解】
解：因为任意，都有恒成立，且函数是定义在R上的奇函数，
所以对恒成立，
又由（1）知函数在上为增函数，所以对恒成立，
由，有，
所以对恒成立，
设，由递减，可得，
所以，当且仅当时取得等号，
所以，即的取值范围是.
18、（1），
（2）
【解析】（1）由同角三角函数基本关系与诱导公式化简后求解
（2）化为齐次式后由同角三角函数基本关系化简求值
【小问1详解】
，而角是第三象限角，
故，
则，

【小问2详解】
，
将代入，原式
19、（1）；（2）
【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；
（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值
【详解】解：（1）由得：，
即，
，

；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
20、（1）
（2）72
【解析】（1）由题意可得，当且时，，当且时，，从而可求得结果，
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式即可求得答案
【小问1详解】
由题意得，当且时，
，
当且时，，
所以
小问2详解】
当当且时，，
所以当时，，
当且时，，
当且仅当，即时取等号，
综上，该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大
21、（1）；
（2）或；
（3）.
【解析】（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足，消去可得圆心所在直线方程；
（2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m；
（3）根据题意判断出四边形PACB是正方形，进而求得，由两点间距离公式可求得m
【小问1详解】
由已知圆C的方程为：，所以圆心为，
所以圆心在直线方程为.
【小问2详解】
（2）由已知r=2，又弦长为，所以圆心到直线距离，所以，解得或.
【小问3详解】
由可取得最大值为可知点为圆外一点，所以，
当PA、PB为圆的两条切线时，∠APB取最大值.又，所以四边形PACB为正方形，由r=2得到，即P到圆心C的距离，解得.