自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 线性系统的频域分析法,频域分析法的由来：,工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统（,信号与系统,）。,因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数都可表示为傅里叶积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。,在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶级数和傅里叶变换的这个性质，可以通过研究对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。,自动控制系统的频域分析法就是建立在这个基础上的。,参见,信号与系统,控制系统的频率特性反映,正弦信号作用下,系统响应的性能，是系统的一种,数学模型,。,应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。,频域分析法具有以下特点：,1.,控制系统及其元部件的频率特性可以运用,分析法,或者,实验法,获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用,图解法,进行。,2.,频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。,3.,控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。,4.,还可以推广到研究某些非线性系统。,频域分析法的基本介绍,时域分析法与频域分析法比较：,时域分析法,是分析控制系统的,直接,方法，比较直观、精确。,当往往需要求解复杂的微分方程。,频域分析法,是一种,图解分析法,。它依据系统的又一种数学模型,频率特性，利用频域指标和时域指标之间的对应关系，,间接,地揭示系统的暂态特性和稳态特性，,简单迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向,。也是一种工程上常用的方法。,复域分析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。,本章内容,5-1,频率特性,（数学模型）,5-2,典型环节与开环系统的频率特性,（系统建模）,5-3,频率域稳定判据,（稳定性问题）,5-4 Matlab,在频率响应法中的应用,5-5,稳定欲度,（相对稳定性问题）,5-6,闭环系统的频率特性,5-7,频域响应和时域响应之间的关系,5-8,控制系统频域设计,频域分析法与时域分析法是截然不同的两种分析和设计系统的方法，但是本质是统一的。,教材这一章写的？,5-1,频率特性,1.,频域特性的基本概念,（这种数学模型是怎样的？）,2.,频率特性的几何表示,（这种数学模型怎样表示？）,1.,频域特性的基本概念,首先以,RC,滤波网络为例，引出频率特性的基本概念。,那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的,n,阶线性定常系统中？,其中，,如果该结论成立，我们知道，控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来，那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦信号响应而得到。（,信号与系统,傅里叶变换。）这也是频率分析法的根本思想所在。,该结论成立的意义：,附录,A,傅里叶变换和拉普拉斯变换,P630,那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的,n,阶线性定常系统中？,其中，,证明：,对于一般的,n,阶线性定常系统中，若输入 ，则输出的稳态值为,频率特性的定义,对于一般的,n,阶线性定常系统中，若输入 ，则输出的稳态值为,也就是说，对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。,（重要概念）,获取系统频率特性的途径有两个,:,1.,分析法,当已知系统的传递函数时，用 代入传递函数可得到系统的频率特性,G(j,),。因此，频率特性是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的分析法（解析法）。,2.,实验法,当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号 ，测出不同频率时系统稳态输出的振幅,Y,和相移,，便可得到它的幅频特性 和相频特性 。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法,（也叫系统辨识）,。,系统辨识：,由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。,曲线拟合,P189,，图,5-3,5,、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。,正弦输入稳态误差求法总结：,1.,定义法，求拉式反变换（不能用终值定理）,2.,动态误差系数法,3.,频率响应法,用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：,2.,频率特性的几何表示法（图示法）,（重点）,仅从 的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：,（伯德曲线或伯德图，波特图）,（尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）,（极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线）,Bode,图是重点，,Nyquist,图次重点。（考试、考研必考）,本教材，写的跳跃性过大，也太难，建议参考其他作者书。,频率特性,幅频特性,相频特性,实频特性,虚频特性,对数幅频特性,Remark:,给定一个环节或者系统的传递函数 ，可以马上得到,：,以上特性，在频率特性的几何表示中，经常用到，通常都需要事先计算出来，再绘图。,例,RC,网络,的奈奎斯特图,P190,页证明,见图,5-5,（规范）,单位：弧度,/,秒,半对数坐标系的优点：,对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 则将幅值的乘法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。,例,RC,网络,的伯德图,RC,网络,Nichols,图,(T=0.5),5-2,典型环节与开环系统的频率特性,设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。,该线性系统的开环传递函数为 ，为了研究开环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。,本节目录,1.,典型环节,2.,最小相位环节的频率特性（,Nyquist,图与,bode,图）,3.,非最小相位环节的频率特性（,Nyquist,图与,bode,图）,4.,系统的开环幅相曲线（,Nyquist,图）,5.,系统的开环对数频率特性曲线（,bode,图）,6.,传递函数的频域实验确定,7.,延迟环节和延迟系统,重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。,1.,典型环节,2.,最小相位环节的频率特性,（考试、考研重点，,nyquist,图与,bode,图必须会画，概率图）,考试的标准画法,o,比例环节的,nyquist,图与,bode,图,考试的标准画法,注意考察几个特殊点,：,注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）,与横轴的交点。,o,积分环节的,nyquist,图与,bode,图,纯微分环节的,Bode,图,比较交点不标记的情况,0,0,半对数坐标系中的直线方程,（重要，,bode,图解计算时经常用到）,其中，和 为直线上的两点，为直线斜率。,一定在第四象限，相角变化在,0,度到,-90,度。,考试的标准画法,惯性环节的误差曲线,注意考察几个特殊点,：,与转折点,考试的标准画法,注意考察几个特殊点,：,与转折点,惯性环节极坐标图,o,对吗？,也可写为尾一式,第四象限,第三象限,根据实频和虚频确定相角象限的方法（重要）,为 的减函数。当 时，谐振峰值 。,注意：,3.,有谐振时,，,2.,与虚轴的交点,1.,（特殊点与趋势）,（转折点，是阻尼比的减函数）,4.,无谐振时,对数幅频特性：,时，忽略 中的 和,二阶振荡环节的折线（渐近线）方程,区分谐振峰值和峰值（,P80,）,注意：,越小，最小为,0,，出现的越晚；,越大，最大为,0.707,，出现的越早,比例环节,bode,图,典型最小相位环节,bode,图汇总,P193,图,5-11,振荡环节与二阶微分环节（,折线图怎么画,）,转折频率？,最小相位系统：,比例相频不衰减；,积分相频衰减,-90,度,一节惯性相频逐步衰减,90,度,二阶振荡相频逐步衰减,180,度,微分相频超前,90,度,一阶微分逐步超前,90,度,二阶微分逐步超前,180,度,3.,非最小相位环节的频率特性,注意：运用实频和虚频判断相角象限,与教材的非最小相位惯性环节表达式有区别,4.,系统的,概略,开环幅相曲线（,Nyquist,图）（,考试、考研必考,）,1,）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：,2,）求系统的频率特性：,即,概略,绘制的具体步骤,3,）求,4,）补充必要的特征点,(,主要指曲线与负实轴的交点，,相交时所对应频率称为穿越频率,),。,5,）根据,的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性，画出,Nyquist,图的大致形状。,例：,已知系统的开环传递函数,试绘制系统的开环,Nyquist,图。,解：,1,）系统的开环频率特性,2,）起点和终点,3,）曲线与实轴的交点。,例：,已知系统的开环传递函数,试绘制系统的开环,Nyquist,图并求与实轴的交点。,解：,1,）系统的开环频率特性,2,）起点和终点,3,）曲线与实轴的交点。,相交时，满足,解得：,舍去,（虚频为零）,又,解得，,例：,已知系统的开环传递函数,试绘制系统的开环,Nyquist,图。,解：,1,）系统的开环频率特性,2,）起点和终点,最小相位系统,nyquist,图的一般形状：（考试、考研时利用此规律作图）,考虑如下系统：,1,）,n,为分母阶次,m,为分子阶次,只包含惯性环节,的,0,型系统,Nyquist,图,2),3),结论：,（,最小相位系统,）（考试考研的快速作图方法）,开环含有,v,个积分环节系统，,Nyquist,曲线起自幅角为,v,90,的无穷远处。,n,=,m,时，,Nyquist,曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于实轴上的某一有限远点。,n,m,时，,Nyquist,曲线终点幅值为,0,，而相角为,(,n,m,)90,。,不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，,Nyquist,曲线可能出现凹凸。,例,5-3,已知单位反馈系统开环传递函数为,试绘制系统概略开环幅相曲线。,解,：,1,）,.,系统开环频率特性为,2,）开环幅相曲线的起点：,终点：,3,）与实轴的交点：,当,时，存在交点。,交点为,当时 ，交点不存在。,应该指出，由于开环传递函数具有一阶微分环节，系统开环幅相曲线有凹凸现象，因为绘制的是概略幅相曲线，故这一现象无需准确反映。,例,5-4,：,已知系统开环传递函数为,试概略绘制系统开环幅相曲线。,解：,系统开环频率特性为,非最小相位系统,nyquist,图绘制举例（考研）,开环幅相曲线的起点幅频：,各环节在 时的相频特性范围：,开环幅相曲线的终点幅频：,因此，开环频率特性的相频范围为：,即：,（象限判断,）,与虚轴的交点：令虚部为零，解得,5.,系统开环对数频率特性曲线（,bode,图）,（考试、考研重点）,最小相位系统,寻找最小相位系统开环,Bode,图特点,（熟记）,最低频段的斜率取决于积分环节的数目,v,，斜率为,20,vdB,/,dec,。,注意到,最低频段,的对数幅频特性可近似为：,（会推导）,L,()=20lg,K,20,v,lg,当,1,rad,/,s,时，,L,()=20lg,K,，即,最低频段,的对数幅频特性或,其 延长线,在,1,rad,/,s,时的数值等于,20lg,K,。（在,1,rad,/,s,处，只有比例环节能够提供增益，其它的环节在此处都为,0,；环节转折频率在,1,前例外，此时对应低频段的延长线。）,如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。,对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，斜率下降,20dB/dec,；振荡环节，下降,40dB/dec,；一阶微分环节，上升,20dB/dec,；二阶微分环节，上升,40dB/dec,。,由以上特点，可以总结出绘制最小相位系统,bode,图的步骤,（熟记）,1,）,将开环传递函数表示为典型环节的串联：,2,）,确定各环节的转折频率,并由小到大标示在对数频率轴上。,3,）计算,20lg,K,，在,1,rad,/,s,处找到纵坐标等于,20lg,K,的点，过该点作斜率等于,-20,v dB,/,dec,的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。,4,）向右延长最低频段渐近线，每遇到一转折频率改变一次渐近线斜率。,5,）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性（主要针对振荡环节,和二阶微分环节）。,6,）,相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点的值,绘出大致曲线。,（尾一式）,（整理成尾一式）,考试标准绘图,相频特性,bode,图在同样的坐标系下绘制一条近似的曲线即可。,注意相频的角度范围不要错即可。,非最小相位系统开环环,bode,图的绘制（考研）,6.,传递函数的频域实验确定,（系统辨识）,可运用频率响应实验确定,稳定系统,的数学模型。,1),频率响应实验,频率响应实验原理图如图所示。,首先选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非饱和状态。,在一定频率范围内（感兴趣的范围内），改变输入正弦信号的频率，记录每个频率点处系统输出信号的波形。,由稳定段的输入输出信号的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线。,2,）传递函数的确定（由,Bode,图确定传递函数）,从低频段起，将实验所得的对数幅频曲线用频率为的,直线分段近似，获得对数幅频渐近特性曲线。,3,）由 反求传递函数实例（适用范围：,最小相位系统,，,考试，考研,）,课外阅读：用,matlab,中的,levy,函数曲线拟合得到传递函数的方法。,（非常重要）,例,5-7(,考研）,图为由频率响应实验获得的某最小相位系统的对数幅频曲线和对数,幅频渐近特性曲线，试确定系统传递函数。,解：,1,）,（教材,P205,图为实验曲线拟合效果图。）,2,）,3,）求,直线方程：,4,）,求,作业,注意：,最小相位系统的对数幅频特性和相频特性是一一对应的。,渐近特性曲线可以确定最小相位系统的传递函数。,值得注意的是，实际系统并不都是最小相位系统，而最小相位系统可以和某些非最小相位系统具有相同的对数幅频特性曲线，因此具有非最小相位环节的系统，还需依据相应环节对相频特性的影响并结合实测相频特性予以确定。,7.,延迟环节与延迟系统,延迟系统及其开环幅相曲线,5-3,频率域稳定判据,（考试、考研重点）,1.,奈奎斯特稳定判据,（由奈奎斯特图判断系统稳定性）,2.,对数频率稳定判据,（由伯德图判断系统稳定性）,3.,条件稳定系统,本节目录,控制系统的闭环系统稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。,奈奎斯特稳定判据,和,对数频率稳定判据,是常用的两种频域稳定判据,。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性,。频域判据使用方便，易于推广。,1.,奈奎斯特稳定判据,1,）,辅助函数,上,式中，,s,为复变量，以,s,复平面上的,s,=,+j,来表示。,F,(,s,),为复变函数，以,F,(,s,),复平面上的,F,(,s,)=,u,+,j v,表示。点映射关系，如左下图所示。,s,平面与,F,(,s,),平面的曲线映射关系，如右下图所示。,点映射关系,s,平面与,F,(,s,),平面的映射关系,2,）,幅角原理,复变函数中的幅角原理是 奈奎斯特判据的数学基础。,如果在,s,平面上任取一条封闭曲线,，且要求 曲线满足下列条件,:,(a),曲线 不通过,F,(,s,),的奇点（即,F,(,s,),的零点和极点）；,(b),曲线,包围,F,(,s,),的,Z,个零点和,P,个极点。,s,平面上的封闭曲线,如下图所示。复变函数,F,(,s,),，当,s,1,（,封闭曲线,上任一点）沿闭合曲线,顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量,式中，,P,和,Z,分别是被封闭曲线,包围的特征方程函数,的极点数和零点数。表明，当,s,平面上的试验点,沿封闭曲线,顺时针方向绕行一圈时，,F,（,s,）平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原（,P-Z,）圈。,令,R,为,F,(,s,),平面上封闭曲线 包围原点的圈数，则,R=P-Z,幅角原理总结：,F,(,s,),包围原点的圈数,=,内,F,(,s,),极点数,-,内,F,(,s,),零点数,F(s),包围原点的圈数,=,内系统开环传递函数极点数,-,内系统,闭环传递函数,极点数,内系统,闭环传递函数,极点数,=,内系统开环传递函数极点数,-,F(s),包围原点的圈数,奈奎斯特稳定判据的思路来源：,恰当的选择 ，使得 包围整个,S,右半平面，则根据 包围原点的圈数和已知的开环传递函数在右半平面的数目，可以判断系统闭环传递函数在右半平面的数目，进而可以判断系统的稳定性。,F,(,s,),包围原点的圈数,=,内,F,(,s,),极点数,-,内,F,(,s,),零点数,选择时 ，分了三种情况,0,型系统,非,0,型系统,临界稳定系统,3),奈奎斯特稳定判据,A.,（,P,为右半平面系统的开环极点数目）,(0,型系统,),a,b,c,（原点或者某常值点）,课后练习,5-14,（最小相位）,在左图，当,S,沿着 顺转一周时，对应于 ，此时，线围绕着,-1,点顺时针转了,2,圈。而系统不存在右半平面的开环极点，所以 ，所以系统不稳定。并且存在,Z=P-R=0-,（,-2,）,=2,个,S,右半平面的闭环极点。,由对称性可以简化绘图，只需做出的一半的曲线 ，即,Nyquist,图即可，如右图。但是 线围绕着,-1,点转的圈数，应该乘以,2,再与右半平面的开环极点数作比较。,注：,利用半闭合曲线 计算闭合曲线 包围原点圈数,R,的方法。,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数 。设 为穿越点 左侧负实轴的次数，表示正穿越的次数和（从上向下穿越），表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则,此题中，,考试、考研标准答题格式,闭环系统不稳定，具有两个右半平面的极点。,系统开环右半平面的极点为,0,，所以,P=0,（关键）,思考，此题用劳斯判据怎么做？,例,在右半平面的极点数为,P=1,。,当,K1,时，,R=2N=1=P,系统稳定,;,当,K0,的部分；单位圆内部的,Nyquist,曲线对应,L,()0,的所有频率范围内的对数相频特性曲线与,180,线的穿越点。,Nyquist,图中的正穿越对应于对数相频特性曲线当,增大时从下向上穿越,180,线,(,相角滞后减小,),；负穿越对应于对数相频特性曲线当,增大时，从上向下穿越,180,线,(,相角滞后增大,),。,（两图中穿越方向的定义正好反向）,Nyquist,曲线的辅助线（增补线）反映在对数相频特性曲线上。即将对数相频特性曲线的起始点 与,+,v,90,线相连,(,v,为开环积分环节的数目,),。,有了以上奈奎斯特图和,bode,图的对应关系，可以很快得到利用,bode,图判断闭环系统稳定性的方法，即对数频率特性稳定判据。,2,）对数频率特性稳定判据,若系统,开环传递函数,存在,个位于右半,s,平面的特征根，则当在,的,所有频率范围内,，对数相频特性曲线,(,含辅助线,),与,-180,线的正负穿越次数之差等于,时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。,闭环系统右半平面的极点数为,例：,系统开环,Bode,图如下，判断系统闭环是否稳定。,解：,闭环系统稳定,（考试重点）,Nyquist,稳定判据和,Bode,稳定判据中，区别 的,穿越方向,。相角变化本质是一致的。,例,5-10,（最小相位与非最小相位的问题）,3.,条件稳定系统,例,5-8,这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。,无论开环传递函数的系数怎么变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统为结构不稳定系统。,若为最小相位，怎么用奈奎斯特图判断该系统的稳定性,?,怎么用劳斯判据判断该系统的稳定性？,怎么用根轨迹判断该系统的稳定性？,Matlab:,G=tf(1,1 1 0 0);,rlocus(G),Bode,图,调用格式,mag,phase,=bode(num,dne,),式中,G(s)=num/den,频率,自动选择范围从,=0.1,到,=1000rad/sec,若人为选择频率范围,可应用,logspace,函数,调用格式：,=logspace(a,b,n),采用自动频率范围,上述,MATLAB,命令可简化为,bode(num,den),margin,命令也可以绘制伯德图，并直接得出幅值裕度、相角裕度及其对应的截止频率、穿越频率。,margin(sys),Nyquist,图,调用格式,re,im,=nyquist(num,den,),式中,G(s)=num/den,；,用户提供的频率范围；,re,极坐标的实部；,im,极坐标的虚部,若用户不指定频率,范围，则为,Nyquist(num,den),5-4 Matlab,在频域响应法中的应用,Nichols,图,调用格式,mag,phase,=nichols(num,den,),注意使用上述调用函数时，必须与,plot,函数配合使用才能产生,nichols,图,直接绘出,nichols,图，可略去上述格式等号左边部分，直接调用,nichols,函数，也可调用,ngrid,函数绘出,nichols,线图,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试绘制其伯德图，尼克尔斯图和奈奎斯特图，并判别闭环系统的稳定性。,解：,matlab,程序：,G=tf(1280 640,1 24.2 1604.81 320.24 16);,figure(1),bode(G),figure(2),margin(G),figure(3),nyquist(G);,axis equal,figure(4),nichols(G),axis(-270 0-40 40);ngrid,1.,系统开环,Nyquist,曲线与闭环阶跃响应的关系,2.,幅值裕度,3.,相角裕度,4.,三段频理论（初步认识）,5-5,稳定裕度,考试、考研,1.,系统开环,Nyquist,曲线,与闭环阶跃响应的关系,回忆：第三章中的相对稳定性的概念。,（看几个例子）,结论：开环,Nyquist,曲线与,(-1,j,0),点的接近程度可以反映系统闭环的相对稳定性，即稳定程度。,劳斯稳定判据应用中，是以闭环极点的负实部与虚轴的距离来衡量系统的相对稳定性的。,在频域中，通常用幅值裕度和相角裕度来衡量系统的相对稳定性。,相对稳定性的衡量指标,:,2.,幅值裕度,（教材用 表示）,1,）（相位）穿越频率,开环,nyquist,曲线与负实轴的交点对应的频率称为（相位）穿越频率。,显然，,2,）幅值裕度,注意到：如果开环增益增加,倍，,Nyquist,曲线将穿过,(-1,j,0),点，系统闭环临界稳定。因此，幅值裕度的物理意义可表述为：,在保持系统闭环稳定条件下，开环增益所允许增大（或增加）的最大倍数（或分贝数）。,（教材用 表示）,讨论：,Nyquist,曲线穿过,(-1,j,0),点时，,1,Nyquist,曲线与负实轴不相交，,闭环稳定时，相位穿越点位于,(-1,j,0),点右边，,。,闭环不稳定时，相位穿越点位于,(-1,j,0),点左边，,1),和,(1,时，随着,M,值的增大，等,M,圆半径愈来愈小，最后收敛于（,-1,j0,）点，且这些圆均在,M=1,直线的左侧,当,M1,时，随着,M,值的减小，,M,圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在,M=1,直线的右侧,当,M=1,时，它是通过（,-1/2,，,0j,）点平行于虚轴的一条直线。,等,M,圆簇既对称于,M=1,的直线，又对称于实轴。,b.,等,N,圆（等相角轨迹）,定义,：,闭环频率特性的相角,为：,令,整理得,：,分析,当给定,N,值,(,等,N,值,),时，上式为圆的方程，圆心在 处，半径为,称为等,N,圆，见图。,等,N,圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加,180,时，其正切相同，因而在同一个圆上。,所有等,N,圆均通过原点和（,-1,j0,）点。,对于等,N,圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。,c.,利用等,M,圆和等,N,圆求单位反馈系统的闭环频率特性,意义：,有了等,M,圆和等,N,圆图，就可由开环频率特性求,单位反馈,系统的闭环幅频特性和相频特性。,将开环频率特性的极坐标图,叠加在等,M,圆线上，如图,(a),所示。曲线与等,M,圆相交于,（,a,）等,M,圆,（,b,）等,N,圆,在 处，,曲线与,的等,M,圆相交，表明在,频率下，闭环系统的幅值为 。依此类推。,从图上还可看出，,的等,M,圆正好与 曲线相切，切点处的,M,值最大，即为闭环系统的谐振峰值 ，而切点处的频率即为谐振频率,。,此外，,曲线与 的等,M,圆交点处的频率为闭环系统的带宽频率,，,0,称为闭环系统的频带宽度。,将开环频率特性的极坐标图 叠加在等,N,圆线上，如图,(b),所示,曲线与等,N,圆相交于,如,处，,曲线与,-10,的等,N,圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角为,-10,，依此类推得闭环相频特性。,在早期的工程实践中，应用等,M,圆求取闭环幅频特性时，需先在透明纸上绘制出标准等,M,圆簇，然后按相同的比例尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率特性 的纸上重叠起来，并将它们的坐标重合最后根据 曲线与等,M,圆簇的交点得到对应的,M,值和 值，便可绘制出闭环幅频特性,（,a,）等,M,圆,（,b,）等,N,圆,闭环频率特性曲线绘制如,P224,图,5-47,2,）利用尼克尔斯图求单位,反馈系统的闭环频率特性,与,横向走势圈线为等,M,线，纵向驼峰线为 等线,3.,非单位反馈系统的闭环频率特性,思路：,上面介绍的等,M,圆和等,N,圆求取闭环频率特性的方法，适用于单位反馈系统。对于一般的反馈系统，如下图,(a),所示，则可等效成如下图,(b),所示的结构图，其中单位反馈部分的闭环频率特性 可按上述方法求取，再与频率特性,相乘，便可得到总的闭环频率特性。,因此，研究闭环系统频域特性或者频域指标时，只需重点针对单位反馈系统进行,。,通常情况下，为常数。,总结,闭环系统的频率特性求法：,1.,解析法,2.,图解法,1,）利用等,M,圆和等,N,圆,2,）利用尼克尔斯图线,频域响应（频率特性）和时域响应都是描述控制系统固有特性的工具，因此两者之间必然 存在着某种内在联系，这种联系通常体现在控制系统频率特性的某些特征量与时域性能指标之间的关系上。本节将着重讨论系统闭环幅频特性的特征量与系统性能指标之间的关系。,5-7,频域响应和时域响应之间的关系,本节内容,控制系统的闭环频域指标,系统带宽与信号频谱的关系,系统时域指标与频域指标之间的关系,工程设计中需要注意的几个问题,1.,控制系统的闭环频域指标,系统的带宽是一个非常重要的概念，在用频域法对控制系统进行分析和综合中经常用到。,考试、考研,一阶系统的带宽,设一阶系统的闭环传递函数为,因为开环系统为,1,型，按带宽定义，,可求得带宽频率,一阶系统的,bode,图,结论：一阶系统的带宽频率和时间常数 成反比，并且系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比。,惯性环节的误差曲线,二阶系统的带宽,系统的幅频特性,因为开环系统为,1,型，按带宽定义，,于是,教材,P218,页用解析法推导出,结论,二阶系统的带宽频率 和自然频率 成正比，与阻尼比 成反比。,从右图中可以更直观的看出该结论。,二阶系统的响应速度和带宽成正比。,二阶系统的频率特性,该结论是否具有一般性呢？,重要知识点,1,：（频率尺度与时间尺度的反比性质）,系统带宽：系统带宽是频域中一项非常重要的性能指标。,对一般控制系统来说，系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比,。即,当系统的带宽扩大 倍，系统的响应速度则加快 倍。,证明：,设两个控制系统存在以下关系：,其中，为任意正常数。两个系统的闭环频率特性亦有,当对数幅频特性 和 的横坐标分别取为 和 时，其对数幅频特性曲线具有相同的形状，按带宽的定义可得,即系统 的带宽频率为系统 带宽频率的 倍。,设两个系统的单位阶跃响应分别为 和 ，按拉氏变换，有,即得,由时域性能指标可知，系统 的上升时间和调节时间为 的倍。即当系统的带宽扩大 倍，系统的响应速度则加快 倍。,既然系统的时域响应速度与带宽成反比，是不是系统的带宽越宽越好呢？,系统的输入和输出端不可避免的存在确定性扰动和随机噪声，因此,控制系统带宽的选择,需要综合考虑各种输入信号的频率范围及其对系统性能的影响，即,应使系统对控制输入信号具有良好的,跟踪能力,（跟踪能力其实暗含两个要求：,快速性与准确性，即准确、快速的复现控制信号）,和对扰动输入信号具有较强的抑制能力,。,2.,系统带宽与信号频谱的关系（,信号与系统,）,1,）确定性信号频谱的概念,a.,周期信号 的频谱是其傅里叶系数（复系数）的集合，通常用该复系数的幅频值集合来表示，是离散的。如教材,P220,页图,5-43,，周期性方波信号的频谱。,b.,非周期信号 的频谱是其傅里叶变换，是连续的。如教材,P220,页图,5-44,，单个方波信号的频谱。,2,）信号与系统的关系,当信号通过一个线性系统时，相当于该信号的频谱经过了该线性系统的线性变换后，再求傅里叶反变换。,因此系统复现输入信号的能力取决于系统的幅频特性和相频特性，对于输入端信号，带宽大，则复现能力越强（跟踪能力强）；而另一方面，抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折中考虑，不能一味求大。,考试、考研,3.,系统时域指标与频域指标之间的关系,控制系统的频域分析和综合是经典控制论中的精华，但是频域指标不像时域指标那样物理意义明确且直观。,系统时域指标物理意义明确、直观，但不能直接应用于频域的分析和综合。,另外，闭环系统频域指标 虽然能反映系统的跟踪速度和抗干扰能力，但由于需要通过闭环频域特性加以确定，在校正元件的形式和参数尚需确定时，显得较为不方便。,鉴于以上原因，需要建立系统时域指标和闭环频域指标以及开环频域指标之间的关系。有了这些关系，可以指导我们在频域对控制系统进行分析和综合。,主要时域指标,主要闭环频域指标,主要开环频域指标,上升时间,调节时间,峰值时间,超调量,带宽频率,谐振频率,谐振峰值,零频值,截止频率,相角裕度,1,）低阶系统时域指标与频域指标之间的定量关系,开环频域指标,闭环频域指标,时域指标,显然，,考试、考研,a,b,c,a,b,c,d,指标,指标,可查图表,P228,图,5-51,考试、考研,对于一般高阶系统，开环频域指标和时域指标之间不存在解析关系。通过大量系统的研究，可归纳出如下的近似计算公式,：,应用上述经验公式估算高阶系统的时域指标，一般偏于保守，即实际性能比估算结果要好。,对控制系统进行初步设计时，使用经验公式，可以保证系统达到性能指标的要求且留有一定的余地，然后进一步应用,matlab,软件包进行验证。,应用,matlab,软件包可以方便的获得闭环系统对数频率特性和系统的时间响应，便于统筹兼顾系统的频域性能和时域性能。,注,：若高阶系统存在一对主导闭环极点，则可由二阶系统频域指标与时域指标之间的关系近似估算该高阶系统的时域指标。,2,）高阶系统时域指标与频域指标之间的定量关系,一个设计合理的系统：,中频段的斜率以,20dB,为宜；,低频段和高频段可以有更大的斜率。,低频段斜率大，提高稳态性能；,高频段斜率大，排除干扰。,但中频段必须有足够的带宽，以保证系统,的动态性能，带宽越大，相位裕量越大（稳定性问题），响应速度越快。,的大小取决于系统的快速性要求。,大，快速性好，但抗扰能力下降。,3,）开环频率特性与时域指标的定性关系,三段频理论,考试、考研,4.,工程设计中需要注意的几个问题,1,）鉴于系统开环频域指标相角裕度 和截止频率 可以利用已知的开环对数频率特性曲线确定，且由前面分析知，和 的大小在很大程度上决定了系统的性能，因此工程上常用 和 来估算系统的时域性能指标。,2,）控制系统设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标 和 ，再由 确定相交裕度 和选择合适的截止频率 ，然后根据 和 选择校正网络的结构并确定参数。（,研究开环的意义,）,3,）为使得控制系统具有良好的动态性能，一般希望，,当选定 后，可以进而通过查图法或者解析法获得 ，再由 确定 和 。,例,5-16,本章小结,1.,频率特性的物理意义,2.,典型环节的频率特性图,3.,开环频率特性作图,Nyquist,图,Bode,图,4.,频域稳定性判据,Nyquist,稳定判据（包围、穿越、辅助线）,对数频率特性稳定判据,增益裕量与相位裕量,5.,闭环频率特性,6.,频域性能指标与时域性能指标之间的关系,7.,三段频,考试、考研题型（重点章节）,基本题型,1,1.,建模,2.,求出系统的传递函数,3.,写出系统的频率特性，画出系统开环奈奎斯特图、,bode,图（画图注意事项，并注意区分最小相位系统和非最小相位系统）,4.,用奈奎斯特稳定性判据或者对数稳定判据判断系统的稳定性。,5.,系统稳定时，求系统的稳定裕度（相角裕度、幅值裕度）。,6.,求闭环系统的频率特性（怎么从等,M,圆上看出谐振峰值）与带宽。,7.,根据三段频理论，定性讨论系统的各种性能，如稳态误差、响应的快速性、抑制扰动的能力等，以及改进措施。,基本题型,2,1.,由系统的开环奈奎斯特图或者,bode,图，反求系统的开环传递函数。,2.,由图判断系统的稳定性及稳定裕度。,。,。,。,。,其它灵活题型,1,5-8,控制系统频域设计,例,5-17,雕刻机控制系统,雕刻机,x,轴方向位置控制系统模型如图所示。,本例的设计目标是：,用频率响应法,选择控制器增益的 值，使系统阶跃响应的各项指标保持在允许范围内。,雕刻机控制系统结构图模型,解：,本例的设计基本思路是：,首先选择增益的初始值，绘制系统的开环和闭环对数频率特性曲线；,然后用闭环对数频率特性来估算系统时间响应的各项指标。,若系统性能不满足设计要求，则调整的值，重复以上设计过程。,最后，用实际系统的仿真来检验设计结果。,1,）尝试取,则系统的开环频率特性为,利用,matlab,画出系统的开环,bode,图,sys=zpk(,0,-1,-2,2),margin(sys),sys2=feedback(sys,1,-1),margin(sys2),系统的开环,bode,图,闭环系统是稳定的,系统的闭环,bode,图,2,）根据上图可以判断出系统可以由二阶系统来近似，存在一对共轭的主导极点。可由图,5-55,给出的关系曲线，并由 估计出系统的阻尼比 ，然后进一步得到标准化谐振频率 ，,因为已经求出 ，故无阻尼自然频率，,于是，雕刻机控制系统的二阶近似模型为,根据近似模型，可以估算出系统的超调量为,调节时间 为,3,）最后，按实际三阶系统进行仿真，其单位阶跃响应如图所示，得到 。结果表明，二阶近似模型是合理的，可以用来调节系统参数。在本例中，如果要求更小的超调量，应取 ，然后重复上述涉及过程。,Matlab,文本：,K1=2;G0=zpk(,0,-1,-2,K1);,G=feedback(G0,1);,figure(1);bode(G0);grid,figure(2);bode(G);grid,figure(3);step(G);grid,雕刻机控制系统的阶跃响应,（,matlab),例,5-19,磁盘驱动读取系统（续）,图,1-17,所示为磁盘驱动器是用弹性簧片来悬挂磁头的。当考虑簧片的弹性影响时，磁头位置控制系统如图所示。磁头与簧片的典型参数：。要求确定开环增益 时