垂径定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3垂径定理,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做,圆弧,简称,弧,.,直径,将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆,(,如弧,ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做,弦,(,如弦,AB).,O,经过圆心的弦叫做,直径,(,如直径,AC).,AB,以,A,B,两点为端点的,弧,.,记作,读作“弧,AB”.,AB,小于半圆的,弧,叫做劣弧,如记作,(,用两个字母,).,AmB,大于半圆的,弧,叫做优弧,如记作,(,用三个字母,).,A,B,C,m,D,圆是轴对称图形,.,圆的对称轴是,任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,O,可利用折叠的方法即可解决上述问题,.,赵州石拱桥,1300,多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥,(,如图,),的桥拱是圆弧形,它的,跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,也叫弓形高,),为,7.2m,求桥拱的半径,(,精确到,0.1m).,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧,:AC=BC,AD=BD,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,AC,AD,分别与,BC,、,BD,重合,即直径,CD,垂直于弦,AB,，平分,弦,AB,并且平分,AB,及,ACB,O,A,B,C,D,E,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,如图,理由是,:,连接,OA,OB,O,A,B,C,D,M,则,OA=OB.,在,RtOAM,和,RtOBM,中,OA=OB,，,OM=OM,，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点,A,和点,B,关于,CD,对称,.,O,关于直径,CD,对称,当圆沿着直径,CD,对折时,点,A,与点,B,重合,AC,和,BC,重合,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,AD=BD.,C,A,E,B,O,.,D,总结：,CD,为,O,的直径,CDAB,条件,结论,AE=BE,AC=BC,AD=BD,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,练习,1,O,B,A,E,D,在下列图形，符合垂径定理的条件吗？,O,A,B,C,D,E,A,B,D,C,条件,CD,为直径,结论,AC=BC,AD=BD,CDAB,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（,不是直径,）,垂径定理的推论,1:,CDAB,吗？,(E),CDAB,垂径定理的,逆定理,AB,是,O,的一条弦,且,AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,过点,M,作直径,CD.,O,右图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,C,D,由 ,CD,是直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,M,A,B,平分,弦（不是直径）的,直径,垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧,.,不是直径,“知二推三”,(1),垂直于弦,(2),过圆心,(3),平分弦,(4),平分弦所对的优弧,(5),平分弦所对的劣弧,注意,:,当具备了,(1)(3),时,应对另一,条弦增加”不是直径”的限制,.,E,例,1,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径。,讲解,A,B,.,O,垂径定理的应用,变式：,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8cm,，,CD,是,O,的直径，,CD,B,垂足为,E,，,DE,2cm,求,O,的半径。,E,A,B,.,O,C,D,8cm,1,半径,为,4cm,的,O,中，弦,AB=4cm,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,。,2,O,的,直径,为,10cm,，圆心,O,到弦,AB,的,距离为,3cm,，则弦,AB,的长是,。,3,半径,为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,。,练习,1,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,1.,如图,在,O,中,弦,AB,的长为,8cm,圆心到,AB,的距离为,3cm,则,O,的半径为,.,练习,2,：,A,B,O,C,5cm,3,4,2.,弓形的弦长,AB,为,24cm,，弓形的高,CD,为,8cm,，则这弓形所在圆的半径为,.,13cm,(1),题,(2),题,12,8,方法归纳,:,1.,垂径定理,经常和,勾股定理,结合使用。,2.,解决有关弦的问题时，经常,（,1,）,连结半径,；,（,2,）,过圆心作一条与弦垂直的线段,等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,例,1,：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为,37.4,米，拱高（弧的中点到弦的距离）为,7.2,米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,问题？,O,A,B,D,C,r,练习：在中，、,AC,为,互相垂直且相等,的两条弦，于，于,求证：四边形是正方形,D,O,A,B,C,E,已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB,。,ABCD,，,MNCD,。则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,圆的两条平行弦所夹的弧相等,垂径定理的推论,2,如果圆的,两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗,?,老师提示,:,这两条弦在圆中位置有两种情况,:,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,M,M,1.,在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示,.,若油面宽,AB=600mm,，求油的最大深度,.,E,D,600,C,D,知识延伸,2,、如图,4,，在,O,中，,AB,为,O,的弦，,C,、,D,是直线,AB,上两点，且,AC,BD,求证：,OCD,为等腰三角形。,E,3,、,如图,，两个圆都以点,O,为圆心，小圆的弦,CD,与大圆的弦,AB,在同一条直线上。你认为,AC,与,BD,的大小有什么关系？为什么？,G,已知,P,为,内一点，且,OP,2cm,，如果,的半径是,，则过,P,点的最长,的弦等于,.,最短的弦等于,_,。,o,o,随堂训练,O,A,P,B,N,M,已知,:O,中弦,ABCD,且,AB=9cm,CD=12cm,O,的直径为,15cm,则弦,AB,CD,间的距离为,(),A.1.5cm B.10.5cm;,C.1.5cm,或,10.5cm D.,都不对,;,C,A,B,C,D,O,小结,:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,常用辅助线,:,垂直于弦的直径,请围绕以下两个方面小结本节课：,1,、从知识上学习了什么？,、从方法上学习了什么？,课堂小结,圆的轴对称性；垂径定理及其推论,（）,垂径定理和勾股定理结合。,（）,在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线,过圆心作垂直于弦的线段；,连接半径。,双基训练,5.,如图,将半径为,2cm,的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕,AB,的长为,(),A.2cm B.cm C.cm D.cm,C,6.,已知点,P,是半径为,5,的,O,内的一定点，且,OP=4,，则过,P,点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（）,A.5,，,4,，,3 B.10,，,9,，,8,，,7,，,6,，,5,，,4,，,3 C.10,，,9,，,8,，,7,，,6 D.10,，,9,，,8,C,O,B,A,12.,已知直径,AB,被弦,CD,分成,AE=4,EB=8,CD,和,AB,成,30,0,角,则弦,CD,的弦心距,OF=_;CD=_.,1,E,O,A,B,C,D,F,在,a,d,r,h,中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量,.,d+h=r,13.,已知：如图，直径,CDAB,，垂足为,E.,若半径,R=2,，,AB=,求,OE,、,DE,的长,.,若半径,R=2,，,OE=1,，求,AB,、,DE,的长,.,由、两题的启发，你还能编出什么其他问题？,已知：,AB,和,CD,是,O,内的两条平行弦，,AB=6cm,，,CD=8cm,，,O,的半径为,5cm,，,思考题：,（,1,）请根据题意画出符合条件的图形,（,2,）求出,AB,、与,CD,间的距离。,（,1,）,（,2,）,试一试,P,93,12,挑战自我,填一填,1,、判断：,垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对,的两条弧,.,（）,平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所,对的另一条弧,.,（）,经过弦的中点的直径一定垂直于弦,.,（）,圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行,.,弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧,.,（）,3,、已知：如图，,O,中，,AB,为 弦，,C,为,弧,AB,的中点，,OC,交,AB,于,D,，,AB=6cm,，,CD=1cm.,求,O,的半径,OA.,4,、如图为一圆弧形拱桥，半径,OA=10m,，,拱高为,4m,，求拱桥跨度,AB,的长。,4.,如图,圆,O,与矩形,ABCD,交于,E,、,F,、,G,、,H,EF=10,HG=6,AH=4.,求,BE,的长,.,A,B,C,D,0,E,F,G,H,M,N,学生练习,已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,求证：,EC,DF,.,A,O,B,E,C,D,F,