薄板弯曲问题2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,12.1,Introduction and Assumptions,12,Bending of Thin Plates,12.2,Differential Equation for Bending of Thin Plate,12.3,Stress Resultants and Stress Couples,12.4,Boundary Conditions,12.5,A Simple Solution for Elliptical Plates,12.6,Naviers,Solution by Double Trigonometric Series,12.7,Levys Solution by Single Trigonometric Series,边界条件,下面以矩形板为例，说明各种边界条件：,求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件下，由方程,求出挠度,w,如图所示矩形板，,OA,边固定，,OC,边简支,AB、BC,边是自由边,一、边界条件,12.4,Boundary Conditions,A,O,B,C,a,b,x,y,边界条件：,a、OA,边,b、OC,边,OC,边的边界条件为：,如果,OC,边作用有分布力矩,M，,则边界条件为：,或写为：,c、AB、BC,边（自由边）,A,O,B,C,a,b,x,y,AB,边：,BC,边：,A,O,B,C,a,b,x,y,边界条件中的扭矩可以变换为等效剪力，与原来的剪力合并,二、扭矩的等效剪力,例如，上述,AB,边上，其扭矩如何转换为等效剪力？,A,B,dx,dx,E,F,G,将微段,EF,上的扭矩等效变换成两个力，一个在,E,点，方向向下，一个在,F,点，方向向上？,将微段,FG,上的扭矩等效变换成两个力，一个在,F,点，方向向下，一个在,G,点，方向向上？,A,B,E,F,G,将每一点的等效剪力叠加，得：,相应的分布剪力为：,AB,边上的总剪力为,：,A,点,：,B,点,：,AB,边的边界条件：,A,O,B,C,a,b,x,y,A,O,B,C,a,b,x,y,BC,边的边界条件：,将,M,y,、M,x,、Q,y,、Q,x,、M,xy,=,M,yx,的表达式代入，得最后边界条件：,AB,边：,BC,边：,如果边界上的力矩,M,和横向荷载,V,不为零，则边界条件中，等式右边不为零，如,AB,边：,A,O,B,C,a,b,x,y,在两条边的交点，如,B,点,若,B,是自由点，则,R,B,=0，,即,若,B,有支座，则,B,点的条件为：,四边简支的矩形薄板的重三角级数解,12.6,Naviers,Solution by Double Trigonometric Series,O,B,C,a,b,x,y,A,图示四边简支的矩形薄板，边界条件为：,Let us consider a simply supported rectangular plate subjected to any transverse loading.The boundary conditions are:,O,B,C,a,b,x,y,A,纳维叶(,Navier,),把挠度,w,的表达式取为如下的重三角级数：,其中，,m、n,是正整数,将,w,代入边界条件，全部都能满足,将,w,代入方程：,These conditions can be satisfied by taking,将,q=q（x，y）,也展开为重三角级数：,将,q,左右两边同乘,（,i,为任意整数）,并对,x,积分：,由于：,所以，上式变为：,同理，将上式两边同乘,（,j,为任意整数），并对,y,积分后得：,将,i、j,替换为,m、n，,上式变为：,将,m、n,代入,q,式，得：,将上式代入微分方程：,最后求得,A,mn,：,代入,w,的表达式，即可求出,w，,然后用公式可以求应力和内力,例如，当薄板在任意点上受集中力,P,时，如何计算？,可以用微面积,dxdy,上的均布荷载来代替,q,A,mn,表达式中，除了在（,，）处等于,q,外，其余各处均为零,积分后得：,挠度的表达式：,由此，根据内力表达式可以求内力,矩形薄板的单三角级数解,图示矩形薄板，两边简支，承受任意横向荷载,q（x，y），,可以用较简单的单三角级数求解（李维解法）,O,a,b/2,x,y,b/2,a,可假设：,12.7,Levys Solution by Single Trigonometric Series,Y,m,是,y,的任意函数，,m,为正整数,边界条件：,将w代入边界条件，均能满足,将,w,代入方程：,并要求满足 时的边界条件,将q/D展开为傅立叶级数，得：,将此式代入上述微分方程，得：,此常微分方程的解答为：,其中，f,m,（y）是任意一个特解，由,的结果而定,A,m,、B,m,、C,m,、D,m,是任意积分常数，由,的边界条件来确定,最后求得w的表达式：,注意：,应用本节所述的李维(,Levy),解法，可以得出四边简支的矩形薄板受各种横向荷载时的解答，还可以得出薄板在某一边界上受分布力矩作用或发生沉陷时的解答，利用这些解答，再根据结构力学的方法，可以得出任意薄板受任意横向荷载作用时的解答,很多专著给出了矩形薄板在各种边界条件下承受各种横向荷载作用时的挠度和弯矩，供工程设计使用,很多专著给出了矩形薄板在各种边界条件下承受各种横向荷载作用时的挠度和弯矩，供工程设计使用,对具有简支边和固定边而无自由边的矩形薄板，若给出泊松比等于某一指定数值时的弯矩，如何求出泊松比等于其他数值时的弯矩？,说明如下：（,P218）,谢谢！,