2021年广东省广州市数学中考试卷（含答案）.docx

中考题集
2021 年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）

1．（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
2．（3 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b＝0，若 AB＝6，则点 A 表示的数为（ ）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6 3．（3 分）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6 4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+ ＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 5．（3 分）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1） 对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2） 对角线互相垂直的四边形是菱形
（3） 对角线相等的平行四边形是菱形

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

6．（3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等
奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽

到 2 名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若∠ACB＝

60°，则劣弧 AB 的长是（ ）

中考题集

A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
8．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，﹣5），则当 x＝2 时，y 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

9．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋
转得到△AB′C′，使点 C′落在 AB 边上，连结 BB′，则 sin∠BB′C′的值为（ ）

A． B． C． D．
10．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在函数 y＝（x＞0）的图象上，顶点 C 在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点 B 的横坐标为﹣，则点 A 的坐标为（ ）
A．（，2） B．（， ） C．（2，） D．（ ，）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 ．
12．（3 分）方程 x2﹣4x＝0 的实数解是 ．
13．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段 AB 的垂直平分线分别交
AC、AB 于点 D、E，连接 BD．若 CD＝1，则 AD 的长为 ．

14．（3 分）一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）

是反比例函数 y＝ 上的两个点，若 x1＜x2＜0，则 y1 y（2
填“＜”或“＞”或“＝”）．

15．（3 分）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠B＝38°，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直

线 CD 的对称点为 B′，当 B′D∥AC 时，则∠BCD 的度数为 ．

16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE＝3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H．并与⊙A 交于点 K， 连结 HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的
序号）．

（1）H 是 FK 的中点

（2） △HGD≌△HEC

（3） S△AHG：S△DHC＝9：16

（4） DK＝

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）

中考题集
17．（4 分）解方程组
．

18．（4 分）如图，点 E、F 在线段 BC 上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．

19．（6 分）已知 A＝（﹣）•．
（1） 化简 A；

（2） 若 m+n﹣2＝0，求 A 的值．

20．（6 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，

次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2

统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

（1）表格中的 a＝ ，b＝ ；
（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；

（3） 若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加
志愿者活动的次数为 4 次的人数．

中考题集
21．（8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师

傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次．

（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训
人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“ 粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，点 E 是 AC 的中点，且 AC＝AD．
（1） 尺规作图：作∠CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF 为等边三角形．

中考题集

A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点．
（1） 求 A、B 两点的坐标；

（2） 设△PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3） 作△PAO 的外接圆⊙C，延长 PC 交⊙C 于点 Q，当△POQ 的面积最小时，求⊙C 的半径．

24．（12 分）已知抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1） 当 m＝0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2） 该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3） 已知点 E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物
线顶点横坐标的取值范围．

25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝2，点 E 为边 AB 上一个动点，

延长 BA 到点 F，使 AF＝AE，且 CF、DE 相交于点 G．

（1） 当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；

（2） 当 CG＝2 时，求 AE 的长；
（3） 当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度．

2021年广东省广州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）

1．（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
【解答】解：A、0 是整数，但 0 既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；

B、﹣0.5 是负分数，不是整数，故此选项不符合题意； C、﹣是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意； D、﹣2 是负整数，故此选项符合题意．
故选：D．

2．（3 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b＝0，若 AB＝6，则点 A 表示的数为（ ）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6

【解答】解：∵a+b＝0，

∴a＝﹣b，即 a 与 b 互为相反数． 又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．

∴2b＝6．

∴b＝3．

∴a＝﹣3，即点 A 表示的数为﹣3． 故选：A．
3．（3 分）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

【解答】解：去分母，得 x＝2x﹣6，

∴x＝6．

经检验，x＝6 是原方程的解． 故选：D．
4．（3 分）下列运算正确的是（ ）

中考答案
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2
B．3+ ＝3

C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3 与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意． 故选：C．
5．（3 分）下列命题中，为真命题的是（ ）

（1） 对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2） 对角线互相垂直的四边形是菱形

（3） 对角线相等的平行四边形是菱形

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；

（2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

（3） 对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；

（4） 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意， 真命题为（1）（4），
故选：B．

6．（3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等

奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：

共有 12 种等可能的结果，恰好抽到 2 名女学生的结果有 6 种，

中考答案
∴恰好抽到 2 名女学生的概率为 ＝ ，

故选：B．

7．（3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若∠ACB＝

60°，则劣弧 AB 的长是（ ）

A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm
【解答】解：由题意得：CA 和 CB 分别与⊙O 相切于点 A 和点 B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，

∴∠OAC＝∠OBC＝90°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠AOB＝120°，
∴＝16π（cm），故选：B．
8．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，﹣5），则当 x＝2 时，y 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5

【解答】解：如图

∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣1，0）、（3，0），且与 y 轴交于点（0，﹣5），

中考答案
∴可画出上图，

∵抛物线对称轴 x＝
＝1，

∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），

∴当 x＝2 时，y 的值为﹣5． 故选：A．
9．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点 C′落在 AB 边上，连结 BB′，则 sin∠BB′C′的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝ ＝＝10，
∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′，

∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，

∴BC'＝4，

∴B'B＝ ＝＝4 ，
∴sin∠BB′C′＝ ＝＝， 故选：C．
10．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在函数 y＝（x＞0）的图象上，顶点 C 在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点 B 的横坐标为﹣，则点 A 的坐标为（ ）
A．（，2） B．（， ） C．（2，） D．（ ，）
【解答】解：如图，作 AD⊥x 轴于点 D，CE⊥x 轴于点 E，

∵四边形 OABC 是矩形，

中考答案
∴∠AOC＝90°，

∴∠AOD+∠COE＝90°，

∵∠AOD+∠OAD＝90°，

∴∠COE＝∠OAD，

∵∠CEO＝∠ODA，

∴△COE∽△OAD，

∴＝（ ）2， ，
∵S△COE＝ ×|﹣4|＝2，S△AOD＝ ＝，
∴＝（ ）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设 A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣ ）＝ ，
∵点 B 的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣ ）＝ ， 整理得 2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），故选：A．

中考答案

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 x≥6 ．
【解答】解：代数式 在实数范围内有意义时，x﹣6≥0， 解得 x≥6，
∴x 应满足的条件是 x≥6． 故答案为：x≥6．
12．（3 分）方程 x2﹣4x＝0 的实数解是 x1＝0，x2＝4 ．
【解答】解：方程 x2﹣4x＝0， 分解因式得：x（x﹣4）＝0， 可得 x＝0 或 x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
13．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段 AB 的垂直平分线分别交

AC、AB 于点 D、E，连接 BD．若 CD＝1，则 AD 的长为 2 ．

【解答】解：∵DE 垂直平分 AB，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD，

∵∠A＝30°，

中考答案
∴∠ABD＝30°，

∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，

∵∠C＝90°，

∴∠CBD＝30°，

∵CD＝1，

∴BD＝2CD＝2，

∴AD＝2． 故答案为 2．
14．（3 分）一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）
是反比例函数 y＝上的两个点，若 x1＜x2＜0，则 y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0， 解得 m＝4，
∵m＞0，

∴反比例函数 y＝图象在一三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2， 故答案为＞．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠B＝38°，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B′，当 B′D∥AC 时，则∠BCD 的度数为 33° ．

【解答】解：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝38°，

∵B′D∥AC，

∴∠ADB′＝∠A＝38°，

中考答案
∵点 B 关于直线 CD 的对称点为 B′，

∴∠CDB′＝∠CDB＝ （38°+180°）＝109°，

∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°． 故答案为 33°．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE＝3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H．并与⊙A 交于点 K， 连结 HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （1）（3）（4） （填写所有
正确结论的序号）．

（1）H 是 FK 的中点

（2） △HGD≌△HEC

（3） S△AHG：S△DHC＝9：16

（4） DK＝

【解答】解：（1）在△ABE 与△DAF 中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠AFD＝∠AEB，

∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，

∴AH⊥FK， 由垂径定理， 得：FH＝HK，
即 H 是 FK 的中点，故（1）正确；

（2） 如图，过 H 分别作 HM⊥AD 于 M，HN⊥BC 于 N，

中考答案

∵AB＝4，BE＝3，

∴AE＝ ＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，

∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴，
∴AH＝ ，HM＝ ，
∴HN＝4﹣ ＝， 即 HM≠HN，
∵MN∥CD，

∴MD＝CN，

∵HD＝ ，
HC＝ ，
∴HC≠HD，

∴△HGD≌△HEC 是错误的，故（2）不正确；

（3） 过 H 分别作 HT⊥CD 于 T，
由（2）知，AM＝ ＝，
∴DM＝ ，
∵MN∥CD，

∴MD＝HT＝ ，

中考答案
∴
＝
＝ ，故（3）正确；

（4）由（2）知，HF＝ ＝，
∴ ，
∴DK＝DF﹣FK＝ ，故（4）正确．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）

17．（4 分）解方程组 ．

【解答】解： ，

将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，

∴x＝5，

将 x＝5 代入①得，y＝1，
∴方程组的解为 ．
18．（4 分）如图，点 E、F 在线段 BC 上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C．

在△ABE 和△DCF 中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．

∴AE＝DF．
19．（6 分）已知 A＝（﹣）•．
（1） 化简 A；

中考答案
（2）若 m+n﹣2 ＝0，求 A 的值．

【解答】解：（1）A＝（ ﹣ ）•

＝

＝

＝（m+n）
＝m+ n；
（2）∵m+n﹣2 ＝0，
∴m+n＝2 ，
当 m+n＝2时，A＝ m+ n＝ （m+n）＝ ×2 ＝6．
20．（6 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，

次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2

统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

（1）表格中的 a＝ 4 ，b＝ 5 ；

（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；

（3） 若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加

志愿者活动的次数为 4 次的人数．

【解答】解：（1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，故答案为：4，5；
（2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：

1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，

∵4 出现的最多，有 6 次，
∴众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数＝4， 故答案为：4，4；
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人．

中考答案
21．（8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师

傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次．

（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训

人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤

菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李

某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，
依题意得：31+2x+x＝100， 解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训 23 万人次．

（2）设李某的年工资收入增长率为 m， 依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3＝30%．

答：李某的年工资收入增长率至少要达到 30%．

22．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，点 E 是 AC 的中点，且 AC＝AD．

（1） 尺规作图：作∠CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF 为等边三角形．

【解答】（1）解：如图，图形如图所示．

中考答案

（2）证明：∵AC＝AD，AF 平分∠CAD，

∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，

∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，

∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，

∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，

∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，

∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，

∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，

∴∠BEF＝60°，

∴△BEF 是等边三角形．
23．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于
A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点．

（1） 求 A、B 两点的坐标；

（2） 设△PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；

（3） 作△PAO 的外接圆⊙C，延长 PC 交⊙C 于点 Q，当△POQ 的面积最小时，求⊙C 的半径．

中考答案

【解答】解：（1）∵直线 y＝x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，
∴当 x＝0 时，y＝4； 当 y＝0 时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；

（2）∵点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点，
∴P（x， ），
∴S△APO＝ ＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；

（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），

∴OA＝8，OB＝4，

在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：

AB＝ ，
在⊙C 中，∵PQ 是直径，
∴∠POQ＝90°，

∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝ ，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝ ，
∴当 S△POQ 最小时，则 OP 最小，

中考答案
∵点 P 在线段 AB 上运动，

∴当 OP⊥AB 时，OP 最小，
∴S△AOB＝ ，
∴ ，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，

∴⊙C 半径为 4．
24．（12 分）已知抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1） 当 m＝0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2） 该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3） 已知点 E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）当 m＝0 时，抛物线为 y＝x2﹣x+3，将 x＝2 代入得 y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的顶点为（，）， 化简得（ ，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣ （m﹣3）2+5，
∴m＝3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线 EF 解析式为 y＝kx+b，将 E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：

，解得 ，

中考答案
∴直线 EF 的解析式为 y＝2x+1，
由
得：
或
，

∴直线 y＝2x+1 与抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段 EF 上，
∴若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5） 与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1 或 m+1＞3 或 m+1＝2（此时 2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点＝＜﹣ 或x 顶点＝＞或x 顶点＝＝＝1．
25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝2，点 E 为边 AB 上一个动点，延长 BA 到点 F，使 AF＝AE，且 CF、DE 相交于点 G．

（1） 当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；

（2） 当 CG＝2 时，求 AE 的长；

（3） 当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度．

【解答】解：（1）证明：连接 DF，CE，如图所示：

，

∵E 为 AB 中点，
∴AE＝AF＝ AB，
∴EF＝AB＝CD，

中考答案
∵四边形 ABCD 是菱形，

∴EF∥AB∥CD，

∴四边形 DFEC 是平行四边形．

（2）作 CH⊥BH，设 AE＝FA＝m，如图所示，

，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴CD∥EF，

∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，

在 Rt△CBH 中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝ ，CH＝ ，
cos60°＝ ，BH＝1，
在 Rt△CFH 中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF²＝CH²+FH²，
即（2+2m）²＝（ ）²+（3+m）²， 整理得：3m²+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴ ．
（3）G 点轨迹为线段 AG， 证明：如图，

中考答案
（此图仅作为证明 AG 轨

迹用），

延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HM⊥AB 于 M，作 DN⊥AB 于 N，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴BF∥CD，

∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，
∴，，
∴，
∵AE＝AF，

∴DH＝CH＝1，

在 Rt△ADN 中，AD＝2，∠DAB＝60°．
∴sin60°＝ ，DN＝ ．cos60°＝ ，AN＝1，
在 Rt△AHM 中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，
tan∠HAM＝ ，
G 点轨迹为线段 AG．

∴G 点轨迹是线段 AG． 如图所示，作 GH⊥AB，

∵四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，

中考答案
∴CD∥BF，BD＝2，
中考题集

∴△CDG∽△FBG，
∴，即 BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝ ，
在 Rt△GHB 中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝ ，GH＝ ，
cos60°＝ ，BH＝ ，
在 Rt△AHG 中，AH＝2﹣＝，GH＝ ，
AG²＝（ ）²+（ ）²＝ ，
∴AG＝ ．
∴G 点路径长度为．
解法二：如图，连接 AG，延长 AG 交 CD 于点 W．
∵CD∥BF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵AF＝AE，

∴DW＝CW，

∴点 G 在 AW 上运动． 下面的解法同上．