盐城市重点中学2025年高一上数学期末检测模拟试题含解析.doc

盐城市重点中学2025年高一上数学期末检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则（）
A. B.
C. D.R
2．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（）
A. B.
C. D.
3．如图是某班名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在区间内的学生人数为

A. B.
C. D.
4．若函数是定义在上的偶函数，则（）
A.1 B.3
C.5 D.7
5．在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是
A. B.
C. D.
6．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象

A.每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位
B.每个点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位
C.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
9．已知集合，，则
A. B.
C. D.
10．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为__________.
12．给出下列四个结论
函数的最大值为；
已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；
在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；
在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
其中正确结论序号是______
13．已知函数是偶函数，则实数的值是__________
14．函数（其中，，）的图象如图所示，则函数的解析式为__________

15．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________
16．化简___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若对于恒成立，求实数的最小值.
18．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：
上市时间天

市场价元

（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
19．已知是定义在上的偶函数，且时，
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性
20．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，讨论函数的零点个数.
21．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
2、A
【解析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，

因为，
要使，
则有
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是
故选：A
3、C
【解析】身高在区间内的频率为 人数为 ，选C.
点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
4、C
【解析】先根据偶函数求出a、b的值，得到解析式，代入直接求解.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，所以，即，所以，所以.
故选：C
5、C
【解析】连接为异面直线与所成角，几何体是长方体，是，，异面直线与所成角的大小是,故选C.
6、C
【解析】因为所以选C
考点：比较大小
7、D
【解析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D
8、C
【解析】根据函数的图象，设可得
再根据五点法作图可得
故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到
的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到 函数的图象，
故选C
9、A
【解析】由得，所以；
由得，所以.
所以．选A
10、D
【解析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.
【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当，即时，，则，即，可得；
当，即时，，则，即，可得；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设弧长为，半径为，为圆心角，所以 ，
由扇形面积公式得.
故答案为：
12、
【解析】根据指数函数单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据对数函数的图象与性质，求得a的取值范围是；同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；
对于，函数且在上是减函数，
，
解得a的取值范围是，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；
对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确
综上，正确结论的序号是
故答案为
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题
13、1
【解析】函数是偶函数，，即，解得，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性
14、
【解析】如图可知函数的最大值
，
当时，代入，，

当时，代入，，
解得
则函数的解析式为
15、3
【解析】由
将对数转化为指数

16、
【解析】利用向量的加法运算，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）函数为偶函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）解不等式即可得答案；
（2）根据奇偶性的定义直接判断即可；
（3）根据题意，将问题转化为且在均恒成立，再分离常数，结合函数单调性与基本不等式求解即可.
【小问1详解】
解：由题知，解得，
所以函数的定义域为
【小问2详解】
解：函数为偶函数，证明如下：
由（1）知函数定义域关于原点对称，
所以，
所以函数为偶函数.
【小问3详解】
解：因为对于恒成立，
即对于恒成立，
所以且在均恒成立，
所以且在均恒成立，
由于，当且仅当成立，
在上单调递增，故，所以
所以且，即.
所以实数的取值范围是，最小值
18、（1）②；（2）上市天，最低价元
【解析】（1）根据所给的四个函数的单调性，结合表中数据所表示的变化特征进行选择即可；
（2）根据表中数据代入所选函数的解析式，用待定系数法求出解析式，最后利用函数的单调性求出纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
【详解】（1）通过表中数据所知纪念章的市场价与上市时间的变化先是递减而后递增，而已知所给的函数中除了②以外，其他函数要么是单调递增，要么是单调递减，要么是常值函数，所以选择②；
（2）由（1）可知选择的函数解析式为：.
函数图象经过点，代入解析式中得：
，
显然当时，函数有最小值，最小值为26.
所以该纪念章时的上市20天时市场价最低，最低的价格26元.
【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了函数的单调性的判断，考查了二次函数的单调性及最值，考查了数学运算能力.
19、（1）
（2）单调减函数，证明见解析
【解析】（1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果
【小问1详解】
解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以
【小问2详解】
解：设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数
20、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）根据题意条件，分别求解的定义域和解对数不等式即可完成求解；
（2）通过题意条件，找到和两函数值域的关系，分别求解出对应的值域，通过分类讨论即可完成求解；
（3）通过题意条件，通过讨论的值，分别作出对应的函数图像，借助换元，观察函数图像的交点状况，从而完成求解.
【小问1详解】
函数，由，可得，即的定义域为；
不等式，所以
，即为，
解得，
则原不等式的解为；
【小问2详解】
函数，
若存在，使得成立，
则和在上的值域的交集不为空集；
由（1）可知：时，
显然单调递减，所以其值域为；
若，则在上单调递减，所以的值域为，
此时只需，即，所以；
若，则在递增，可得的值域为，
此时与的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数的范围是；
小问3详解】
由，
得，令，则，
画出的图象，

当，只有一个，对应3个零点，
当时，，
此时，
由，
得在，三个分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当时，只有1个零点，
当或时，有3个零点，
当时，有5个零点.
【点睛】方法点睛：对于“存在，使得成立”，需要将其转化成两函数值域的关系，即两个函数的值域有交集，需根据函数的具体范围进行适时的分类讨论即可.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解
【详解】（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.