黑龙江省佳木斯市建三江第一中学2026届数学高二上期末监测试题含解析.doc

黑龙江省佳木斯市建三江第一中学2026届数学高二上期末监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
2．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）
A. B.，或
C.，或 D.，或，或
3．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
4．椭圆与(0<k<9)的（ ）
A.长轴的长相等
B.短轴的长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
5．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.不确定
6．已知直线，，若，则实数（）
A. B.
C.1 D.2
7．已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为

A.1 B.
C.2 D.
8．设，随机变量X的分布列如下表所示，随机变量Y满足，则当a在上增大时，关于的表述下列正确的是（）
X
0
1
3
P
a

b
A增大 B.减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
9．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．椭圆的长轴长为（）
A. B.
C. D.
11．若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）
A. B.
C. D.
12．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）
A.2 B.4
C.5 D.25
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则___________.
14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________

15．给定点、、与点，求点到平面的距离______.
16．一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．截止到18时，最后一辆车行驶了____小时，如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队各辆车行驶路程之和为______千米
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
18．（12分）我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图

（1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；
（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：
等级
一级
二级
三级
四级
售价（万元/吨）

若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由
19．（12分）已知圆的方程为
（1）求圆的圆心及半径；
（2）是否存在直线满足：经过点，且_________________ ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：被圆所截得的弦长最长；
条件②：被圆所截得的弦长最短；
条件③：被圆所截得的弦长为
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
20．（12分）设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值.
21．（12分）已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.

（1）求证：平面；
（2）求直线FH与平面所成角的大小.
22．（10分）某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额 （万元）的数据如下：
加盟店个数 （个）
1
2
3
4
5
单店日平均营业额 （万元）
10.9
10.2
9
7.8
71
（参考数据及公式： ， ，线性回归方程 ，其中 ， .）
（1）求单店日平均营业额 （万元）与所在地区加盟店个数 （个）的线性回归方程；
（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数 的所有可能取值；
（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
2、D
【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.
【详解】不等式解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.
故选：D.
【点睛】分式不等式的解法：
（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；
（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.
3、C
【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.
【详解】设，，,
依题意得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，
当位于圆的最高点时的面积最大，所以 ,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小，所以,
解得,
故双曲线的离心率为.
故选: C.
4、D
【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，
前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则
显然只有D正确
故选：D
5、A
【解析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.
【详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，
设椭圆和双曲线的离心率分别为，
则，所以，
以为直径的圆的方程为，
设，
则有，所以，
设，，
所以①，
②，
则①②得，
所以，所以，
将代入②得，
所以，，
则点到圆心的距离为，
所以点Р在以为直径的圆外.
故选：A.
6、D
【解析】根据两条直线的斜率相等可得结果.
【详解】因为直线，，且，
所以，
故选：D.
7、A
【解析】∵圆的方程为，即，
∴圆的圆心为，半径为2.
∵直线过点且与直线垂直
∴直线.
∴圆心到直线的距离.
∴直线被圆截得的弦长，
又∵坐标原点到的距离为，
∴的面积为.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、三角形的面积公式.
8、A
【解析】先求得参数b，再去依次去求、、，即可判断出的单调性.
【详解】由得
则，

由得
a在上增大时, 增大.
故选：A
9、A
【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
10、D
【解析】由椭圆方程可直接求得.
【详解】由椭圆方程知：，长轴长为.
故选：D.
11、D
【解析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.
【详解】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.
故选：D
12、B
【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
则.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由向量的运算法则，求得，根据，结合向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】由题意可得，，
则
，
故.
故答案为：
14、405
【解析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，
15、
【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.
【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，
，
，即，
令，得

故答案为：.
16、 ①.2.5#### ②.1950
【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为，所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时，第一辆车行程为km，且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km，这10辆车的行驶路程可以看作首项为240，公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为（km）.
故答案为：2.5,1950

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，T(0，1)﹒
【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；
(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.
【小问1详解】
由题可知，，
则，
由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴，
∴P的轨迹方程为C：；
【小问2详解】
假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，
联立，化为，易知恒成立，
∴(*)
由题可知，

将(*)代入可得：
即
∴，解，
∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.
18、（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析
【解析】（1）根据茎叶图计算出数量以及比例.
（2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策.
【详解】（1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例
（2）解答一：选用方案2，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨，
则
因为，
所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2
解答二：选用方案1，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为
则，
因为，但（万元）差别较小
所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好
19、（1）圆心为，半径为；
（2）答案见解析.
【解析】（1）写出圆标准方程即得解；
（2）选择条件①：直线应过圆心即直线过点和，即得解；选择条件②：直线应与垂直，求出直线的方程即得解；选择条件③：不存在满足条件的直线.
【小问1详解】
解：由圆的方程整理可得，
所以圆心为，半径为.
小问2详解】
选择条件①：若直线被圆所截得的弦长最长，则直线应过圆心即直线过点和，所以直线的斜率为，则直线的方程为.
选择条件②：若直线过点被圆所截得的弦长最短，则直线应与垂直.
又，所以.故直线方程为.
选择条件③：经过点的直线被圆所截得的最短弦长，
由于，所以不存在满足条件的直线.
20、（1）单调递减区间为和，单调递增区间为
（2）极小值，极大值为
【解析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）根据（1）中求得单调区间可求出函数的极值
【小问1详解】

.
当变化时，，的变化情况如下表所示：

0

0

减
极小值
增
极大值
减
的单调递减区间为和，单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）可知在处取得极小值，在处取得极大值.
的极小值为，极大值为.
21、（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.
【详解】（1）如图所示：

连接CH，延长交PD于点K，连接BK，
因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，
所以H为CK的中点，
所以，又平面平面，
所以平面；
（2）建立如图所示直角坐标系

则，
所以，
设平面PBC一个法向量为：，
则，有，
令，，
设直线FH与平面所成角为，
所以，
因为，
所以.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）；（2）5，6，7；（3）.
【解析】（1）先求得 ， ，进而得到b，a求解；
（2）根据题意，由求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）由题可得， ， ，设所求线性回归方程为 ，
则 ，
将 ， 代入，得 ，
故所求线性回归方程为 .
（2）根据题意， ，解得： ，
又 ，所以 的所有可能取值为5，6，7.
（3）设其他5个地区分别为 ，他们选择结果共有25种，具体如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中他们在同一个地区的有5种，
所以他们选取地区相同的概率 .