2025-2026学年云南省大理州数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年云南省大理州数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图象的一个对称中心是（）
A B.
C. D.
2．下列各组函数是同一函数的是（）
①与②与
③与④与
A.②④ B.③④
C.②③ D.①④
3．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）

A. B.
C. D.
4．若，且则与的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
5．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　)
A.y＝2x＋4 B.y＝x－3
C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0
6．圆：与圆：的位置关系为（）
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
7．已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A.{x|x>2} B.
C.{或x>2} D.{或x>2}
8．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.都不对
9．若，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若且，则 D.若，则
10．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则__________
12．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
13．已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝ _________，则f(x)的最大值为________.
14．已知，若方程恰有个不同的实数解、、、，且，则______
15．已知扇形的半径为2，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为______.
16．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部分图象如图所示，则的值是________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的值域；
（2）讨论函数零点的个数.
18．已知，非空集合，若S是P的子集，求m的取值范围.
19．（1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，求的值
20．已知，，
（1）求实数a、b的值，并确定的解析式；
（2）试用定义证明在内单调递减
21．已知函数（且）
（1）当时，解不等式；
（2）是否存在实数a，使得当时，函数的值域为？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案
【详解】
令，，解得：，.
所以函数的图象的对称中心为，.
当时，就是函数的图象的一个对称中心，
故选：B.
2、B
【解析】利用函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同即可求解.
【详解】对于①，与，定义域均为，
但对应,两函数的对应关系不同，故①不是同一函数；
对于②，的定义域为，的定义域为，
故②不是同一函数；
对于③，与定义域均为，函数表达式可化简为，
故③两函数为同一函数；
对于④，根据函数的概念，与，
定义域、对应关系、值域均相同，故④为同一函数，
故选：B
【点睛】本题考查了函数的三要素，函数相同只需函数的三要素：定义域、值域、对应关系相同，属于基础题.
3、C
【解析】观察图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求函数的解析式，根据三角函数变换结论，求出平移后的函数解析式，根据平移后函数图象关于轴对称，列方程求的值，由此确定其最小值.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，∴
因，可得，又，
求得，故
将的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象，
因为的图象关于直线轴对称，
故，即，
故的最小值为，
故选：C
4、C
【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C
考点：数量积表示两个向量的夹角
5、C
【解析】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则，解得，即，所以直线的方程为，联立解得，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C.
点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题．解题时要结合实际情况，准确地进行求解
6、A
【解析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，
所以两圆相交.
故选：A
7、C
【解析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
详解】依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.
8、B
【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
故选：
9、D
【解析】根据选项举反例即可排除ABC，结合不等式性质可判断D
【详解】对A，取，则有，A错；
对B，取，则有，B错；
对C，取，则有，C错；
对D，若，则正确；
故选：D
10、B
【解析】令，则可得，解出即可.
【详解】令，其对称轴为，
要使在上是增函数，
则应满足，解得.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】由于，所以，故.
【点睛】本题主要考查对新定义概念的理解，考查利用二分法判断函数零点的大概位置.首先研究函数，令无法求解出对应的零点，考虑用二分法来判断，即计算，则零点在区间上.再结合取整函数的定义，可求出的值.
12、
【解析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，

结合图象，
设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为
x1，x2，x3，x4，x5，
则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，
﹣log0.5（﹣x3+1）=a，
x3=1﹣2a，
故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，
∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，
∴a=
故答案为.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用
13、 ①. ②.
【解析】根据偶函数f(－x)＝f(x)即可求a值；分离常数，根据单调性即可求最大值，或利用基本不等式求最值.
【详解】是偶函数，
，
则，
则，
即，
则，则，
则，
当且仅当，即，则时取等号，
即的最大值为，
故答案为：，
14、
【解析】作出函数的图象以及直线的图象，利用对数的运算可求得的值，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得解.
【详解】作出函数的图象以及直线的图象如下图所示：

由图可知，由可得，即，
所以，，可得，
当时，，由，可得，
由图可知，点、关于直线对称，则，
因此，.
故答案为：.
15、
【解析】由扇形的面积公式和弧度制的定义，即可得出结果.
【详解】由扇形的面积公式可得，
所以圆心角为.
故答案为：
16、
【解析】，把代入，得
，，
，故答案为
考点：1、已知三角函数的图象求解析式；2、三角函数的周期性
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点） 时；“第二点”（即图象的“峰点”） 时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点） 时；“第四点”（即图象的“谷点”） 时；“第五点”时

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）分和，分别求出对应函数的值域，进而可求出结果；
（2）作出函数的图象，数形结合即可分析出结果.
【小问1详解】
当时，，对称轴为，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即值域为；
当时，，则在上单调递减，且，所以，即值域为，故的值域为.
【小问2详解】
由，得，则零点的个数可以看作直线与的图象的交点个数，当时，取得最小值，的图象如图所示.

①当时，直线与的图象有0个交点，即零点的个数为0；
②当或时，直线与的图象有1个交点，即零点的个数为1；
③当或时，直线与的图象有2个交点，即零点的个数为2；
④当时，直线与的图象有3个交点，即零点的个数为3.
综上：①当时，零点的个数为0；②当或时，零点的个数为1；③当或时，零点的个数为2；④当时，零点的个数为3.
18、
【解析】由，解得．根据非空集合，S是P的子集，可得，解得范围
【详解】由，解得．，
非空集合．又S是P的子集，
，解得
的取值范围是，
【点睛】本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
19、（1）90；（2）0；（3）.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质可求代数式的值.
（2）利用对数的运算性质可求代数式的值.
（3）将给定的代数式两边平方后得到，再次平方后则可求的值.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）因为，两边平方得即
所以即
又，
所以
20、（1），；
（2）证明见解析
【解析】（1）根据条件解出即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
由，，得
解得，，∴
【小问2详解】
设，则
∵，，∴，即，
∴在上单调递减
21、（1）；
（2）不存在.
【解析】（1）根据对数函数的性质可得，求解集即可.
（2）由题设可得，进而将问题转化为在上有两个不同的零点，利用二次函数的性质即可判断存在性.
【小问1详解】
由题设，，
∴，可得，
∴的解集为.
【小问2详解】
由题设，，故，
∴，而上递增，递减，
∴在上递减，故，
∴，即是的两个不同的实根，
∴在上有两个不同的零点，
而开口向上且，显然在上不可能存在两个零点，
综上，不存在实数a使题设条件成立.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数函数的性质易得，并将问题转化为二次函数在上有两个不同实根零点判断参数的存在性.