山西省朔州市怀仁市第一中学2025-2026学年数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

山西省朔州市怀仁市第一中学2025-2026学年数学高二上期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列中，，，则（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
2．已知数列满足，，令，若对于任意不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．若圆与圆相切，则实数a的值为（）
A.或0 B.0
C. D.或
4． “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）
A. B.数列是等比数列
C. D.
6．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
7．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）
A.4 B.-4
C.2 D.-2
8．如果，那么下面一定成立的是（）
A. B.
C. D.
9．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（）
A. B.
C. D.
10．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设内容是(　　)
A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除
C.a不能被5整除 D.a，b有1个不能被5整除
11．已知抛物线的焦点恰为双曲线的一个顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为（）
A. B.
C. D.
12．已知数列满足，，数列的前n项和为，若，，成等差数列，则n=（ ）
A.6 B.8
C.16 D.22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若数列满足，，则__________
14．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.已知抛物线，经过点一束平行于C对称轴的光线，经C上点P反射后交C于点Q，则PQ的长度为______.
15．已知数列的前n项和为，则______
16．已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点
（1）求a的取值范围；
（2）设的两个极值点分别为，证明：
18．（12分）已知直线和的交点为
（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程
19．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.
（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；
（2）求的长.
20．（12分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.

（1）证明：直线的方程为.
（2）设为双曲线的左焦点，证明：.
21．（12分）已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
22．（10分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由等差数列的基本量法先求得公差，然后可得
【详解】设数列的公差为，
则，，所以
故选：C
2、D
【解析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出，可得，原不等式转化为恒成立求解即可.
【详解】，，
，
由累加法可得，
又，，
符合上式，，
，
对于任意不等式恒成立，则，解得.
故选：D
3、D
【解析】根据给定条件求出两圆圆心距，再借助两圆相切的充要条件列式计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
而，即点不可能在圆内，则两圆必外切，
于是得，即，解得，
所以实数a的值为或.
故选：D
4、A
【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.
【详解】由直线垂直可得，解得或1，
所以“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充分不必要条件.
故选：A.
5、D
【解析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；
【详解】，，故A错误；
，，显然数列不是等比数列，故B错误；
，故C错误；
，，故D成立；
故选：D
6、C
【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.
【详解】对任意，都有成立，即
令，则，
所以函数在上单调递增
不等式即，即
因为，所以
所以，，解得，
所以不等式的解集为
故选：C.
7、B
【解析】根据抛物线和椭圆焦点与其各自标准方程的关系即可求解.
【详解】由题可知抛物线焦点为，椭圆左焦点为，
∴.
故选：B.
8、C
【解析】根据不等式的基本性质，以及特例法和作差比较法，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，当时，，所以不正确；
对于B中，因为，根据不等式的性质，可得，
对于C中，由，可得
可得，所以，所以正确；
对于D中，由，可得，
则，所以，所以不正确.
故选：C.
9、A
【解析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.
【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，
设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，
则，，
所以，
令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
故选：A
10、B
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”
考点：反证法
11、D
【解析】根据题意，列出的方程组，解得，再利用斜率公式即可求得结果.
【详解】因为抛物线的焦点，由题可知；
又点在抛物线上，故可得；又，
联立方程组可得，整理得，解得（舍）或，
此时，又，故直线的斜率为.
故选：D.
12、D
【解析】利用累加法求得列的通项公式，再利用裂项相消法求得数列的前n项和为，再根据，，成等差数列，得，从而可得出答案.
【详解】解：因为，且，
所以当时，
，
因为也满足，所以.
因为，
所以.
若，，成等差数列，则，即，得.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、7
【解析】根据递推公式，依次求得值.
【详解】依题意，由，
可知，

故答案为：7
14、####
【解析】根据题意，求得点以及抛物线焦点的坐标，即可求得所在直线方程，联立其与抛物线方程，求得点的坐标，即可求得.
【详解】因为经过点一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点，
故对，令，则可得，也即的坐标为，
又抛物线的焦点的坐标为，故可得直线方程为，
联立抛物线方程可得：，，
解得或，将代入，可得，即的坐标为，
则.
故答案为：.
15、
【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.
【详解】，则，
故.
故答案为：3.
16、2
【解析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可
方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可
【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上， x， ，，
从而
故答案为2
方法二：，
而，则答案2
故答案为2
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.
(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得：，
依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，
令，，则，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，，
因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，
有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，
所以a取值范围是.
【小问2详解】
由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，
即，作差得，则有，
原不等式，
令，则，于是得，
设，则，
因此，在单调递增，则有，即成立，
所以.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；
（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.
【小问1详解】
解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将带入可得
所以的方程为：；
【小问2详解】
解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.
（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.
【详解】（1）因为曲线（为参数），
所以曲线的普通方程为：.
（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，得.
，.
所以.
20、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.
【小问1详解】
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，则，化简得.
因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标
，得，则，
故，则，即.
【小问2详解】
同理可得，又与均过，
所以.
故，，
，
又因为，所以，
则，
，
故，故.
【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.
21、
【解析】若真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.
【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；
若为真命题，则对一切恒成立,
令
则,当且仅当，即时，取得最小值；
所以，即；
又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；
当为真命题，为假命题时，，所以；
当为假命题，为真命题时，，所以；
综上所述，.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；
（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.
【小问1详解】
解：由题意知：，
由抛物线的定义知：，
由，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，
则，，
则，，
因为向量的夹角为，
所以，
，
则，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围.