广东省揭阳市2026届数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

广东省揭阳市2026届数学高二第一学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程表示的曲线是（）
A.一个椭圆和一个点 B.一个双曲线的右支和一条直线
C.一个椭圆一部分和一条直线 D.一个椭圆
2．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为
A.3 B.4
C.7 D.9
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
5．空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，，，，分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的是（）.

A.这14天中有4天空气质量指数为“良”
B.从2日到5日空气质量越来越差
C.这14天中空气质量的中位数是103
D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日
6．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（）
A.0.2 B.0.3
C.0..5 D.0.6
7．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）
A. B.
C. D.
8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
10．已知数列满足，则（ ）
A.2 B.
C.1 D.
11．若，则的最小值为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
12．设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则（）
A.4 B.5
C.8 D.10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______
14．已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.
15．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道与具有线性相关性，其线性回归方程为，则______.（参考公式：）

1
2
3
4
5
6
7

6.0
6.2
6.3
6.4
6.4
6.7
6.8

16．已知椭圆的离心率为.
（1）证明：；
（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.
①求直线的方程；
②求椭圆的标准方程.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角B的大小；
（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积
18．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动

（1）证明：；
（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）等于何值时，二面角的大小为？
19．（12分）已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
21．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于A，两点，求弦长.
22．（10分）已知数列满足，，数列前项和为.
（1）求数列，的通项公式；
（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由可得，或，再由方程判断所表示的曲线.
【详解】由可得，或，即或，则该方程表示一个椭圆的一部分和一条直线.
故选：C
2、A
【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为，，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
3、A
【解析】整理数列的通项公式有：，
结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
，
原问题即：恒成立，
当时，，即>3，
综上可得：的最大值为3.
本题选择A选项
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项
4、A
【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.
【详解】解：圆的圆心，，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：A.
5、C
【解析】根据题图分析数据，对选项逐一判断
【详解】对于A，14天中有1，3，12，13共4日空气质量指数为“良”，故A正确
对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确
对于C，14个数据中位数为：，故C错误
对于D，观察折线图可知D正确
故选：C
6、D
【解析】利用正态分布的计算公式：，

【详解】且

又

故选：D
7、A
【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.
【详解】如图示：连接OF,

因为P为EF中点，，F为BC的中点，
则

，
故选：A
8、A
【解析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.
【详解】因为，
所以，，
所以，函数图象的对称中心为，
将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，
即函数为奇函数.
故选：A
9、B
【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.
【详解】由已知条件得，
∴，∴，∴，∴，
故选：.
10、D
【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.
【详解】由条件，可知，两式相加可得，
即，所以数列是以周期为的周期数列，
.
故选：D
11、D
【解析】由基本不等式求解即可.
【详解】，当且仅当时，取等号.
即所求最小值.
故选：D
12、C
【解析】根据双曲线的定义可得：，结合双曲线的方程可得答案.
【详解】由双曲线可得
根据双曲线的定义可得：
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】由数列的前项和为，则当时，，
所以，
所以数列的前和为，
当时，，
当时，，
所以满足的最小的值为.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
14、
【解析】先利用相似关系计算，求得直线OA的方程，再联立方程求得，利用抛物线定义根据即得p值，即得结果.
【详解】因为，，所以，则，

如图，，故，解得，
所以，直线OA的斜率为，OA的方程，
联立直线OA与抛物线方程，解得，所以，
故，则抛物线标准方程为.
故答案为：.
15、9##
【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得.
详解】根据表格数据可得：

故，解得.
故答案为：.
16、（1）证明见解析；（2）①；②.
【解析】（1）由可证得结论成立；
（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1），，因此，；
（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，
当在椭圆的内部时，，可得.
设点、，则，所以，，
由已知可得，两式作差得，
所以，
所以，直线方程为，即.
所以，直线的方程为；
②联立，消去可得.
，
由韦达定理可得，，
又，而，，

，
解得合乎题意，故，
因此，椭圆的方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.
（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
所以，又B为△的一个内角，则，
所以或；
【小问2详解】
由△不为钝角三角形，即，又，，
由余弦定理，，得（舍去负值），则
∴
18、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.
（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.
（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.
【小问1详解】
由题设，连接、，又长方体中，

∴为正方形，即，
又面，面，即，
∵，面，
∴面，而面，即.
【小问2详解】
连接，由E为棱的中点，则，

∴，又，故，
∴，
又，，故，则，
由，若到面的距离为，又，，
∴，可得，又，
∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.
【小问3详解】
二面角大小为，即二面角为，
由长方体性质知：面，面，则，
过作于，连接，又，
∴面，则二面角平面角为，

∴，令，则，故，
而，，
∴，
∴，整理得，解得.
∴时，二面角的大小为.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案；
（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.
【小问2详解】
，…①
…②
①-②得
，.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；
（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解
【小问1详解】
解：设等差数列公差为d，首项为a1，
由题意，有，解得，
所以；
【小问2详解】
解：，所以
21、（1）
（2）
【解析】（1）由已知直接可得；
（2）联立方程组求出A，两点坐标，再由两点间距离公式可得.
【小问1详解】
∵椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为4，
，，，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
设，联立解得和， ，
∴弦长.
22、（1），
（2）证明见解析
【解析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；
(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相消法求的前n项和即可证明.
【小问1详解】
由题可知，当n≥2时，

＝

当n＝1时，也符合上式，
∴；
当时，，
当n＝1时，也符合上式，
∴；
【小问2详解】
由(1)知，
∴，
∵，；
∵，，
，，，
∴
设为数列的前n项和，
则.