2025-2026学年日喀则市重点中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年日喀则市重点中学数学高二第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知△的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△的周长是（）
A. B.
C.8 D.16
2．渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A.1 B.
C. D.2
3．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
4．变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（）

4
5
6
7

8.2
7.8
6.6
5.4
A. B.
C. D.
5．过点，且斜率为2的直线方程是
A. B.
C. D.
6．已知，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）
A B.
C. D.
8．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：
学科类别
文学
新闻
经济
政治
人数
400
300
100
200
若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（ ）
A.15，20，10，5 B.15，20，5，10
C.20，15，10，5 D.20，15，5，10
9．函数单调减区间是（）
A. B.
C.和 D.
10．已知函数，.若存在三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
12．已知F为椭圆C：=1(a>b>0)右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）
A. B.
C.-1 D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列的前项和为，则_________________.
14．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.

15．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________ mm/s.
16．在数列中，，且，则_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的两个极值点之差的绝对值为.
（1）求的值；
（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.
18．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点

（1）求证：平面；
（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值
19．（12分）如图所示，在直三棱柱中，，，
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
21．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.
组号
分组
频数
频率
1

5
005
2

35
0.35
3

30
b
4

c
d
5

10
0.1
（1）求b，c，d的值；
（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？
（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.
22．（10分）设点是抛物线上异于原点O的一点，过点P作斜率为、的两条直线分别交于、两点（P、A、B三点互不相同）
（1）已知点，求的最小值；
（2）若，直线AB的斜率是，求的值；
（3）若，当时，B点的纵坐标的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据椭圆定义求解
【详解】由椭圆定义得△的周长是，
故选：D.
2、B
【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.
【详解】因为双曲线近线方程为，
故双曲线为等轴双曲线，则a=b,
故离心率为 ，则 ，
故选：B.
3、D
【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.
【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.
故答案为D.
【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.
4、C
【解析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.
【详解】解：，，
所以样本点中心：，
线性回归方程过样本点中心，则
解得：，
故选：C
【点睛】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.
5、A
【解析】由直线点斜式计算出直线方程.
【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选
【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.
6、A
【解析】由基本不等式直接求解即可得到结果.
【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故选：A.
7、D
【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，知：，可得，则，
∴C的方程为.
故选：D.
8、D
【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.
【详解】根据分层抽样的等比例性质知：
文学小组抽取人数为人；
新闻小组抽取人数为人；
经济小组抽取人数为人；
政治小组抽取人数为人；
故选：D.
9、B
【解析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
10、B
【解析】根据题意，当时，有一个零点，进而将问题转化为当时，有两个实数根，再研究函数即可得答案.
【详解】解：因为存在三个零点，所以方程有三个实数根，
因为当时，由得，解得，有且只有一个实数根，
所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，
所以令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，
所以的图象如图所示，
所以有两个实数根，则
故选：B

11、C
【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.
故选：C.
12、D
【解析】记椭圆的左焦点为，在中，通过余弦定理得出，，根据椭圆的定义可得，进而可得结果.
【详解】记椭圆的左焦点为，在中，可得，
在中，可得，故，
故，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用计算可得出数列的通项公式.
【详解】当时，;
而不适合上式，
.
故答案：.
14、24
【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.
【详解】依题意，，，又，解得，，
则有，即，连接，如图，

因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，
因此，四边形是平行四边形，，
所以的面积为24.
故答案为：24
15、0
【解析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.
【详解】解：因为，
所以求导得，
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,
故答案为：.
16、##
【解析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可
【详解】根据题意可得：，，，
故数列为周期数列
可得：
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；
（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.
【详解】由可得：
设的两根分别为，，
则，，
由题意可知：，即，
所以解得：，
当时，，
由可得或，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意，
所以.
（2）由（1）知，，
设，则，
由题意可得：，
即，整理可得：，
解得：或，
因为即为坐标原点，不符合题意，所以，
则，
所以.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
解法1：
如图，连接交于点O，连接OD，

因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，
因为D为BC的中点，所以在中，，
因为平面，平面，所以平面平面
解法2：
因为在三棱柱中，面ABC，，
所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为，
所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，

∴，平面，所以平面；
【小问2详解】
设与平面所成角为，
由(1)知平面法向量为，
F为中点，∴，，
∴
即与平面所成角正弦值为.
19、（1）；（2）
【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S侧，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；
（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论
【详解】（1）在△ABC中，因为AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2
所以S＝2S△ABC+S侧＝4+（2+2+4）×4＝24+12
（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）
在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，
所以∠BA1C1＝arccos，即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos

【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）设点坐标为，根据两直线的斜率之积为得到方程，整理即可；
（2）设，，，根据设、在椭圆上，则，再由，则，即可表示出直线、的方程，联立两直线方程，即可得到点的纵坐标，再根据弦长公式得到，令，则，最后利用基本不等式计算可得；
【小问1详解】
解：设点坐标为，
定点，，直线与直线的斜率之积为，
，

【小问2详解】
解：设，，，则，，所以
又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；
21、（1），，
（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人
（3）
【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；
（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2人，第五组应抽1人；
（3）记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，利用列举法结合概率公式得出答案.
【小问1详解】
由题意得，，
【小问2详解】
三个组共有60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.
【小问3详解】
记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含
，共15个基本事件.
其中2人来自同一组的情况有，共4种.
所以，2人来自同一组的概率为.
22、（1）；
（2）3；（3）；
【解析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点坐标满足抛物线，构造关于的函数关系，求其最值即可；
（2）根据题意，求得点的坐标，设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得点坐标，同理求得点坐标，再利用斜率计算公式求得即可；
（3）根据题意，求得点的坐标，利用坐标转化，求得关于的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，故可得，又
，当且仅当时，取得最小值.
故的最小值为.
【小问2详解】
当时，故可得，即点的坐标为；
则的直线方程为：，联立抛物线方程：，
可得：，故可得，
解得：，又
故可得同理可得：，
又的斜率

，即.
故为定值.
【小问3详解】
当时，可得，此时，
因为两点在抛物线上，故可得，
，
因为，故可得，
整理得：，
，
因为三点不同，故可得，
则，即，
，此方程可以理解为关于的一元二次方程，
因为，故该方程有两个不相等的实数根，
，即，
故，则，
解得或.
故点纵坐标的取值范围为.
【点睛】本题考察直线与抛物线相交时范围问题，定值问题，解决问题的关键是合理且充分的利用韦达定理，本题计算量较大，属综合困难题.