2025年延边市重点中学数学高二第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025年延边市重点中学数学高二第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，则（）
A. B.
C. D.
2．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球（路程相等），甲一半时间步行，一半时间跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等，则（）
A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆
C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆
6．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A.2 B.
C. D.
7．从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B.
C.2 D.
8．下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②某人买彩票中奖；
③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；
④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（ ）
A. B.
C D.
10．直线且的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
11．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
12．下列数列是递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．向量，，若，且，则的值为______.
14．命题“，”的否定是____________.
15．已知p：“”为真命题，则实数a的取值范围是_________.
16．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
（1）求数列{}和数列}的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且

（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值
19．（12分）已知圆的圆心在直线上，且过点
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.
20．（12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
21．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是

（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.
22．（10分）已知空间内不重合的四点A，B，C，D的坐标分别为，，，，且
（1）求k，t的值；
（2）求点B到直线CD的距离
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果
【详解】
故选：B.
2、B
【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
3、A
【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可
【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以，
因为,所以平面，
因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，
所以，
因为点P到底面的距离为3，所以，
所以，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值为
，
故选：A

4、D
【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】，
故
，
故恒成立等价于，
即恒成立，
化简得到，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以
故选：D
5、A
【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度，表示出两人所花时间后比较不等式大小
【详解】设总路程为，步行速度，跑步速度
对于甲：，得
对于乙：
，当且仅当时等号成立，
而，故，乙花时间多，甲先到体育馆
故选：A
6、B
【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
所以则，
当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，
由题意可得，
设切线PA的方程为：，
，整理可得，
，可得，
将代入，可得，所以，
即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，
所以的最大值为：，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化
7、B
【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到的关系即可求解.
【详解】以O为原点，AD所在直线为x轴建系，不妨设，
则该双曲线过点且，
将点代入方程，
故离心率为，
故选：B
【点睛】本题考查已知点在双曲线上求双曲线离心率的方法，属于基础题目
8、B
【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可
【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件
从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件
在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件
故随机事件有2个，
故选：B
9、C
【解析】经分析可得，等比数列各项的绝对值单调递增，将五个数按绝对值的大小排列，计算相邻两项的比值，根据等比数列的定义即可求解.
【详解】因为等比数列中有连续四项在集合中，
所以中既有正数项也有负数项，
所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，
所以等比数列各项的绝对值单调递增，
按绝对值排列可得，
因，，，，
所以是中连续四项，所以，
故选：C.
10、C
【解析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】直线方程可化为：，直线的斜率，
直线的倾斜角为.
故选：C.
11、C
【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.
【详解】因为，在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为.
故选：C.
12、C
【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.
【详解】解：对于A，，则，
所以数列为递减数列，故A不符合题意；
对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；
对于C，，则，
所以数列为递增数列，故C符合题意；
对于D，，则，
所以数列递减数列，故D不符合题意.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据可求出，再根据向量垂直即可求出，即可得出答案.
【详解】因为，，
所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以.
故答案为：.
14、，
【解析】根据全称命题量词的否定即可得出结果.
【详解】命题“”的否定是“，”
故答案为：
15、
【解析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.
【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，
所以，所以，
故答案为：.
16、1
【解析】由点P在椭圆上，可得的值，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点即可求解.
【详解】解：因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆方程为，
又椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）①；②
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.
【小问1详解】
因为四边形是等腰梯形，，
所以，
所以，即
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面
【小问2详解】
以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，
所以，，，
由（1）可知平面的一个法向量为
设平面的法向量为，因为，，所以得
令，则，，所以，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为
∵ 过点，

解得
∴ 所求圆的方程为
（2）直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为
故由点到直线的距离公式得：
解得，所以直线l的方程为
综上所述，则直线l的方程为或
【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
【小问1详解】

，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.
21、（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；
（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，
求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.
【小问1详解】
根据题意得，，，又，
三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；
因为，所以设直线：，直线：；
由，解得，所以，
同理，.
当时，，
所以直线的方程为：，
整理得，此时直线过定点；
当时，直线的方程为：，此时直线过定点，
故直线恒过定点.
②根据题意得，，，
，所以

，当且仅当，
即时等号成立，故的面积的最大值为：.
【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
22、（1），
（2）
【解析】（1）由，可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解；
（2）设直线与所成的角为，求出，再根据点B到直线CD的距离为即可得解
【小问1详解】
解： ，，
因为，所以存在唯一实数，使得，
所以，
所以，解得，
所以，；
【小问2详解】
解：，
则，
设直线与所成的角为，则，
所以点B到直线CD的距离为.