江苏省滨海中学2025-2026学年数学高二第一学期期末调研试题含解析.doc

江苏省滨海中学2025-2026学年数学高二第一学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A. B.－
C. D.
2．若直线与双曲线相交，则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）
A.1 B.3
C.9 D.81
4．设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）
A.的极值点一定是最值点
B.的最值点一定是极值点
C.在区间上可能没有极值点
D.在区间上可能没有最值点
6．已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（）
A椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
7．已知等差数列的前n项和为，，，若（），则n的值为（ ）
A.15 B.14
C.13 D.12
8．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为
A.3 B.4
C.7 D.10
9．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为
A. B.
C. D.不确定
10．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为 4 天，那么感染人数超过 1000 人大约需要（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染）
A.20 天 B.24 天
C.28 天 D.32 天
11．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（ ）
A. B.
C. D.
12．已知集合，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f (x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f (x)在点(x1，f (x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f (x)在点(xn，f (xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f (x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________
14．已知函数，则满足实数的取值范围是__
15．设，满足约束条件，则的最大值是_________.
16．双曲线的焦距为____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数)为叶，例如第一个数据为5.3

（1）求：甲组数据的平均值、方差、中位数；
（2）乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤.
参考公式：平均值，方差
18．（12分）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围
19．（12分）在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
20．（12分）为落实国家扶贫攻坚政策，某地区应上级扶贫办的要求，对本地区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该地区贫困户从2017年至2020年的收入统计数据：（其中y为贫困户的人均年纯收入）
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代码
1
2
3
4
人均年纯收入y/百元
25
28
32
35

（1）在给定的坐标系中画出A贫困户的人均年纯收入关于年份代码的散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计A贫困户在年能否脱贫.（注：假定脱贫标准为人均年纯收入不低于元）
参考公式：，
参考数据：，.
21．（12分）已知椭圆过点，离心率为

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点
①求证：；
②设OA，OB分别与椭圆相交于C，D两点，过点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：为定值
22．（10分）已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.
①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.
【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，
∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－
故选：B
【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).
2、C
【解析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.
【详解】联立直线和双曲线的方程得
当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，
所以直线与双曲线没有公共点.
当，即时，，
解之得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3、A
【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以值为1.
故选：A
4、D
【解析】等价于，令，，利用导数研究函数的单调性，作出的简图，数形结合只需满足即可.
【详解】，即，
又，则.
令，，
，当时，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，且，且，，作出函数图象如图所示，
若的整数有且仅有两个，即只需满足
，即，解得：
故选：D

5、C
【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断
【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题
6、A
【解析】根据椭圆的定义即可求解.
【详解】解：，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
7、B
【解析】由已知条件列方程组求出，再由列方程求n的值
【详解】设等差数列的公差为，则由，，得
，解得，
因为，
所以，即，解得或（舍去），
故选：B
8、D
【解析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解
【详解】解：抛物线：，焦点为，
过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，
则
故选D
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、B
【解析】由,
所以.
10、B
【解析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程
11、C
【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.
【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系

∵底面是边长为4的正方形，，
∴，，，
因为,，且，所以平面，
∴，平面的法向量，
∴与对角面所成角的正弦值为

故选：C.
12、B
【解析】先求得集合A，再根据集合的交集运算可得选项.
【详解】解：因为，所以
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】利用导数的几何意义根据r的2次近似值的定义求解即可
【详解】由，得，取，，
所以过点作曲线的切线的斜率为1，
所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为1，即，
因为，所以过点作曲线的切线的斜率为4，
所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为，即，
故答案为：
14、
【解析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.
【详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得
当，不存在，当时，，解得，故
x的范围为
点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等
15、5
【解析】由题可知表示点与点连线的斜率，再画出可行域结合图像知知.
【详解】x，y满足约束条件，满足的可行域如图：

则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值
由 可得A（﹣2，3），
则的最大值是：
故答案为5
【点睛】(1)在平面直角坐标系内作出可行域
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值
16、
【解析】根据双曲线的方程求出，再求焦距的值.
【详解】因为双曲线方程为，所以，.
双曲线的焦距为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，；
（2），.
【解析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M.
（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差.
【小问1详解】
，
∴，
由茎叶图知：数据从小到大排列为
∴.
【小问2详解】
由题意，，
又，
因此.
18、（1）的减区间为，增区间为
（2）
【解析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
，恒成立.
构造函数，，
，
构造函数，，
所以在上递增，，
所以在上成立，
所以，
所以，即的取值范围是.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；
（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴

.
20、（1）散点图见解析；
（2），能够脱贫.
【解析】（1）直接画出点即可；
（2）利用公式求出与，即可求出，把代入即可估计出A贫困户在2021年能否脱贫.
【小问1详解】
画出y关于x的散点图，如图所示：
【小问2详解】
根据表中数据，计算，
，
又因为，，
所以，
，
关于的线性回归方程，
当时，（百元），
估计年A贫困户人均年纯收入达到元，能够脱贫.
21、（1）
（2）①证明见解析 ；②证明见解析
【解析】（1）根据离心率及过点求出求解即可；
（2）①设直线l的方程为，利用向量的数量积计算证明即可；②设直线CD方程为，利用求出，再由点O到直线CD的距离即可求证.
【小问1详解】
因为，
所以，
又因为，解得，，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
①证明：设，，
依题意，直线l斜率存在，设直线l的方程为，

联立方程，消去y得，
所以，
又因为，所以，
因此，
②证明：设，，设直线CD方程为，
因为，所以，
则，
联立，得
当时，
，
则

所以，即满足
则，即为定值
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可算出，即可证明，选②证①，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出.
【小问1详解】
由条件可得，解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
选①证②：当直线的斜率存在时，设：，
由得，则，
由得
即，即
所以
代入
所以
所以
解得：（舍去），
所以直线过定点
当直线斜率不存在时，设：
所以，由得
所以，即，解得
所以直线（不符合题意，舍去）
综上：直线过定点
选②证①：由题意直线的斜率存在，设：
由得
则，
所以
.