吕梁市重点中学2025年数学高二上期末检测试题含解析.doc

吕梁市重点中学2025年数学高二上期末检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）

A. B.
C. D.
2．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）
A. B.
C. D.
3．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
4．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.60 B.80
C.90 D.100
5．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（ ）
A.3：5 B.3：4
C.5：3 D.4：3
6．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）
A. B.
C. D.
7．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（）
A.1 B.
C.2 D.3
9．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A. B.
C. D.
11．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）
A.12.5尺 B.13尺
C.13.5尺 D.14尺
12．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前n项和为，则______
14．已知函数，则___________.
15．圆关于直线的对称圆的标准方程为_______
16．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第______页第______行．（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）
（1）求抛物线的方程；
（2）设，若直线的倾斜角互补，求的值
18．（12分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长
19．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
20．（12分）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标
21．（12分）已知椭圆：过点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积
22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.
【详解】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线距离为：.
故选：D

2、C
【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程
【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，
则点，所以圆心为，半径，
所以方程为，
故选：C
3、B
【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.
【详解】，当时，，
在上单调递减，
，，在上的解集为，
即在上的解集为；
又为上的奇函数，，
为上的偶函数，在上的解集为，
即在上的解集为；
当时，，不合题意；
综上所述：的解集为.
故选：.
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.
4、D
【解析】由题设条件求出，从而可求.
【详解】设公差为，
因为，，故，解得，
故，
故选：D.
5、A
【解析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.
【详解】由椭圆方程可得：,
设点坐标为，线段的中点为，
因为线段中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，
不妨取,则，
所以 ，
故选：A.
6、D
【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.
详解】设
∵点P到y轴的距离是4
∴
∵，∴.
得
：.
故选：D.
7、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
8、C
【解析】利用抛物线的定义转化为到准线的距离，即可求得.
【详解】抛物线的焦点坐标为,准线方程为, ,
∴，
故选：C.
9、D
【解析】根据函数的单调性，可知其导数在R上恒成立，分离参数，即可求得答案.
【详解】由题意可知单调递增，
则在R上恒成立，可得恒成立，
当时，取最小值-1，
故，
故选：D
10、D
【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.
【详解】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，

则，
解得，则爆炸点与观测点的距离为，
故选：D.
11、B
【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故
所以冬至当日日影长为.
故选：B
12、A
【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.
【详解】，则，
故.
故答案为：3.
14、
【解析】先求导数，代入可得.
【详解】因为
所以，则，故.
故答案为：
15、
【解析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程.
【详解】圆的标准方程为，
圆心(2,2),半径为2，
圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,

所以所求对称圆标准方程为，
故答案为：
16、 ①.7 ②.17
【解析】首先求出等差数列的通项公式，即可得到为第项，再根据每行每页的项数计算可得；
【详解】解：由2，5，8，11，14，…组成的等差数列的通项公式为，令，解得
又，，．所以555在第7页第17行
故答案为：；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用韦达定理法即求；
（2）由题可求，，再结合条件即得.
【小问1详解】
设，，
由，得，
故，
由，可得，即，
∴，
故抛物线的方程为：；
【小问2详解】
设的倾斜角为，则的倾斜角为，
∴
由，得，
∴，
∴，同理，
由，得，
∴，即，
故.
18、（1）证明见解析；（2）；（3）或
【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.
试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，
则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.
因为平面BDE，所以MN//平面BDE.
（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.
因此有，于是.
所以，二面角C—EM—N的正弦值为.
（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段AH的长为或.
【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

20、（1）
（2）
【解析】（1）利用△∽△构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出和，利用几何关系可知，即可得，将韦达定理代入化简即可求得点坐标.
【小问1详解】
∵椭圆的焦距为，∴，即，
轴，∴，则,
由，，则△∽△，
∴，即，
整理得，即，解得或（舍去）
∴，∴，
则椭圆的标准方程为，
【小问2详解】
设直线的方程为，且，
将直线方程与椭圆方程联立得，
，
则，，
∵，∴，
∴,
∴，
∴
，
即.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；
（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.
【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②
由①②解得，，
故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为
将直线的方程代入中，得，
设，，则，
所以，，
所以

，
由，解得，
所以，，
因此
22、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC
【小问2详解】
由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为