2025-2026学年北京市第156中学数学高二上期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年北京市第156中学数学高二上期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（ ）
A 2 B.
C.3 D.
2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）

A. B.
C. D.
3．已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，则该样本标准差为（）
A.1 B.
C. D.2
4．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
5．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）
A. B.
C. D.
6．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（）
A. B.
C. D.
7．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
8．如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（）

A. B.
C. D.
9．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
10．圆的圆心到直线的距离为2，则（）
A. B.
C. D.2
11．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）

A. B.
C. D.
12．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______
14．已知直线与平行，则___________.
15．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.
16．在等差数列中，前n项和记作，若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数

票价（元）
2
4
6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
18．（12分）已知圆，其圆心在直线上.
（1）求的值；
（2）若过点的直线与相切，求的方程.
19．（12分）已知命题：，在下面①②中任选一个作为：，使为真命题，求出实数a取值范围.
①关于x的方程有两个不等正根；
②.
（若选①、选②都给出解答，只按第一个解答计分.）
20．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.
21．（12分）已知，.
（1）若，为假命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
22．（10分）从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答：已知等差数列公差大于零，且前n项和为，，______，，求数列的前n项和.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.
【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0 即，
表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，
由于四边形PACB面积等于2×××=，而，
故当最小时，四边形PACB面积最小，
又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，
故四边形PACB面积的最小值为，
故选：D

2、C
【解析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.
【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.
故选：C
3、B
【解析】先求出的值，然后利用标准差公式求解即可
【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，
所以，解得，
所以标准差，
故选：B
4、D
【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案
【详解】设切点，点
由题意，抛物线C的准线，且由，得，
则直线的方程为，即，
联立令，得
由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立
因为，，
则，即对任意实数恒成立，
所以，即，所以，
故选：D
【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.
5、A
【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可
【详解】解：由已知得,，
则，
故选：A
【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题
6、C
【解析】利用分层抽样求出的值，进而可求得高三被抽取的人数.
【详解】由分层抽样可得，可得，
设高三所抽取的人数为，则，解得.
故选：C.
7、D
【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：D
8、A
【解析】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取，， 利用向量法，根据公式即可求出答案.
【详解】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
取，，则，，
则点B到直线AC1的距离为.

故选：A
9、B
【解析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
10、B
【解析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算
【详解】圆的标准方程是，圆心为，
∴，解得
故选：B.
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题
11、C
【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,
所以不等式的解集为.
故选:C
12、D
【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，
所以可设双曲线的方程为，
则，，
所以该双曲线方程为.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.
故答案为：.
14、
【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
又因为时，，，
所以直线，重合故舍去，
而,,，所以两直线平行.
所以，
故答案为：3.
【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论
15、-2
【解析】根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.
【详解】由题知，，取的中点O，连接，如图所示，

则，又二面角的平面角为直二面角，
则，又，
则，为等边三角形，从而，
则，
故答案为：-2
16、16
【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）24（种）
（2）21（种）
【解析】（1）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元，再确定人与乘坐站数，即可得结果；
（2）先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元，再求甲比乙先下地铁的方案数.
【小问1详解】
由已知可得：甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元，
又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，
所以甲、乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）.
【小问2详解】
甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；
当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；
当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；
若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；
若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；
综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.
18、（1）
（2）或
【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解.
（2）设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.
【小问1详解】
圆的标准方程为：
，
所以，圆心为
由圆心在直线上，得.
所以，圆的方程为：

【小问2详解】
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
即
由于直线和圆相切，得
解得：
所以，直线方程为：或.
19、答案见解析
【解析】根据题意，分析、为真时的取值范围，又由复合命题真假的判断方法可得、都是真命题，据此分析可得答案.
【详解】解：选①时
由知在上恒成立，
∴，即
又由q：关于x的方程有两个不等正根，知
解得，
由为真命题知,解得.
实数a的取值范围.
选②时
由知在上恒成立，
∴，即
又由，知在上恒成立，
∴，
又，当且仅当时取“=”号，
∴，
由为真命题知，解得.
实数a的取值范围.
20、（1）或；（2）
【解析】（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.
(2) 为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.
【详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或；
（2）为假命题，则，
为真命题时，，，则
故.
故为假命题且为真命题时，.
【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）分别求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、都为假命题，求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意可得是的必要不充分条件，则真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
由，解得，即，
由，可得，所以，
当时，解得，即，
因为为假命题，则、都为假命题，
当为假命题时：或
当为假命题时：或
故当、都为假命题，或
综上可得；
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，
由（1）可知，，
所以真包含于，
所以，解得，即
22、；
【解析】将条件①②③转化为的形式，列方程组，并求解，写出的通项公式，从而表示出，利用裂项相消法求和.
【详解】选①：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以
选②：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以
选③：设等差数列首项为，公差为，因为，，所以，所以，所以，所以
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和