黑龙江哈尔滨市第六中学2026届数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

黑龙江哈尔滨市第六中学2026届数学高二上期末监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）
A. B.
C. D.
2．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
3．方程所表示的曲线为（）
A.射线 B.直线
C.射线或直线 D.无法确定
4．直线与直线平行，则两直线间的距离为（）
A. B.
C. D.
5．若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）

A. B.
C. D.
6．已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
7．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于， 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则
A. B.
C. D.
8．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. B.3
C.6 D.
9．若数列的前项和，则此数列是（ ）
A.等差数列 B.等比数列
C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对
10．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）
A. B.
C. D.且
11．已知，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
12．设两个变量与之间具有线性相关关系，相关系数为，回归方程为，那么必有（）
A.与符号相同 B.与符号相同
C.与符号相反 D.与符号相反
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若有两个零点，则的范围是______
14．设，满足约束条件，则的最大值是_________.
15．已知函数，则______
16．设为等差数列的前n项和，若，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，在四边形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BF折起至的位置，使得二面角的大小为120°（如图2），M，N分别是，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.
（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（12分）如图①，在梯形PABC中，，与均为等腰直角三角形，，，D，E分别为PA，PC的中点.将沿DE折起，使点P到点的位置（如图②），G为线段的中点.在图②中解决以下两个问题.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角为120°时，求CG与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知数列是等差数列，且，.
（1）若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列，试求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
21．（12分）求下列函数的导数.
（1）；
（2）.
22．（10分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2

（1）求证：平面FAC⊥平面EFC；
（2）求多面体ABCDEF的体积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误
故选：B
2、A
【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.
【详解】设，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为
由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，
高
故该正四面体的体积为
故选：A
3、C
【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.
【详解】由得：或，即或，
方程所表示的曲线为射线或直线.
故选：C.
4、B
【解析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离.
【详解】由两直线平行，得，故，
当时，，，此时，
故两直线平行时
又之间的距离为，
故选：B.
5、A
【解析】由函数单调性得出和的解，然后分类讨论解不等式可得
【详解】由图象可知：在为正，在为负，
，可化为：或，解得或
故选：A
6、D
【解析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.
【详解】因为，则，所以，，，因此，.
故选：D
7、A
【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.

8、C
【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，

又，，
两式相减，可得：，，
.，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力
9、D
【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，所以是等差数列；
当时，为非等差数列，非等比数列’
当时，，所以是等比数列，
故选：D
10、A
【解析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.
【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且
解得：
故选：
11、C
【解析】利用向量数量积的几何意义即得
【详解】,
故在方向上的投影为：
故选：C
12、A
【解析】利用相关系数的性质，分析即得解
【详解】相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，
r为负，表示负相关，回归直线方程下降，
与r的符号相同
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.
【详解】,
当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以在时取得极小值为，也是最小值，
因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，
所以要使有两个零点，只要，即就可以了.
所以的范围是
故答案为：.
14、5
【解析】由题可知表示点与点连线的斜率，再画出可行域结合图像知知.
【详解】x，y满足约束条件，满足的可行域如图：

则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值
由 可得A（﹣2，3），
则的最大值是：
故答案为5
【点睛】(1)在平面直角坐标系内作出可行域
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值
15、
【解析】根据导数的定义求解即可
【详解】由，得，
所以

，
故答案为：
16、36
【解析】利用等差数列前n项和的性质进行求解即可.
【详解】因为为等差数列的前n项和，
所以也成等差数列，即成等差数列，
所以，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）构造中位线，利用面面平行，可以证明;
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法即可.
【小问1详解】
证明：如图，

取ED的中点P，连接MP，NP.
在平行四边形ABCD中，因为E是AD的中点，，
所以，又，所以四边形BCDE是平行四边形；
因为M，N分别是，BC的中点，所以，.
又平面，平面，所以平面，平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面
【小问2详解】
取BE的中点O，连接，CO，CE.
在图1中，因为，所以是等边三角形，，
又四边形ABCD等腰梯形，所以，即是等边三角形；
所以如图，，，所以.
以为原点，射线OB为x轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，则，，，，

则，
设平面的法向量为，，
得令，则，，即，
由题可知，平面BCD的一个法向量为，.
由图可知，平面与平面BDC夹角余弦值为；
18、（1）；（2）.
【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】实数满足不等式，即
命题实数满足不等式，即
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得
故的取值范围为.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行
（2）以为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值
【小问1详解】

如上图所示，在中，因为D，E分别为PA，PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，交于点，连接，因为与均为等腰直角三角形，，所以，，所以，且，则四边形是平行四边形，所以是中点，且G为线段的中点，所以中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面
【小问2详解】

因为，平面，，所以平面，所以可以以为坐标原点，建立如上图所示的直角坐标系，此时，，，，因为G为线段的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，得其中一个法向量，，所以CG与平面所成角的正弦值为
20、（1），；
（2）.
【解析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.
(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.
【小问1详解】
等差数列中，，解得，公差，
则，因此，，
依题意，，
所以数列的通项公式，.
【小问2详解】
由(1)知，，
则，
因此，，
，
所以.
21、（1）；
（2）.
【解析】利用导数的乘除法则，对题设函数求导即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】

22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，证明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.
(2)求出三棱锥和四棱锥的体积即可计算作答.
【小问1详解】
连接BD交AC于点O，设FC的中点为P，连接OP，EP，如图，

菱形ABCD中，O为AC的中点，则OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，
于是得OP//ED，且OP=ED，即有四边形OPED为平行四边形，则OD//EP，即BD//EP，
因为FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则FA⊥BD，又四边形ABCD是菱形，即BD⊥AC，
而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，
所以平面FAC⊥平面EFC.
【小问2详解】
由已知，是正三角形，，则，
取AD的中点G，连接CG，而△ACD为正三角形，从而有CG⊥AD，且，
因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，
而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，则点C到平面ADEF的距离为，
又，于是得，
所以多面体ABCDEF的体积.