2025-2026学年河北省唐山遵化市数学高二第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河北省唐山遵化市数学高二第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A.48 B.36
C.24 D.18
2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知集合，则（）
A. B.
C. D.
4．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）

A. B.
C. D.
5．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A. B.
C. D.
6．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()
A. B.
C. D.
7．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）
A.24种 B.81种
C.64种 D.256种
8．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）
A B.
C. D.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输人的（）

A. B.或
C. D.或
10．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是

A.153 B.171
C.190 D.210
11．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A. B.
C.1 D.2
12．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（ ）
A.2 B.3
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量、满足，，且，则与的夹角为___________.
14．抛物线的焦点坐标是______.
15．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒
16．设实数x，y满足，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:
①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;
②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值
19．（12分）已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：
20．（12分）已知椭圆的左焦点为，点到短袖的一个端点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若，求的取值范围.
21．（12分）已知抛物线的焦点在直线上
（1）求抛物线的方程
（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程
22．（10分）如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.
【详解】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位数，有个.
故选：B
2、D
【解析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即，
又圆锥的表面积为，则，解得，，
则圆锥的高，所以圆锥的体积，
故选：D.
3、B
【解析】先求得集合A，再根据集合的交集运算可得选项.
【详解】解：因为，所以
故选：B.
4、B
【解析】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.
【详解】第一次循环，不成立，，；
第二次循环，不成立，，；
第三次循环，不成立，，；

以此类推，最后一次循环，不成立，
，.
成立，跳出循环体，输出.
故选：B.
5、A
【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积
【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为
故选：A

【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题
6、A
【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆方程为﹒
故选：A﹒
7、D
【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.
【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.
故选：D
8、A
【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
易知，当三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：.
故选：A.
注意: 9至12题为多选题
9、A
【解析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为，分和两种情况讨论即可得解.
【详解】解：该程序框图显示得算法函数为，
由，
当时，，方程无解；
当时，，解得，
综上，若输出的，则输入的.
故选：A.
10、C
【解析】根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。
【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为
故选：C
【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。
11、B
【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
12、A
【解析】设，则，解方程可得结果.
【详解】设，则且，
所以，所以，
所以，所以或（舍）.
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：设是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据向量数量积的计算公式即可计算.
【详解】，，.
故答案为：﹒
14、
【解析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为：.
15、5
【解析】，
16、5
【解析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解
【详解】画出可行域和目标函数如图所示：

根据平移知，当目标函数经过点时，有最小值为5.
故答案为：5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.
【详解】（1）等比数列的公比，
所以，
设等差数列公差为
因为，，
所以，即
所以
（2）由（1）知，，
因此
从而数列的前项和,

,
,
两式作差可得,
,
解得.
【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可
(2)用直线参数方程的几何意义求解
【小问1详解】
选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为
联立,得

由,得
所以椭圆的方程为
选②:由题知,所以
由,得
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
证明:设直线的参数方程为(为参数)
设A,B,H对应的参数分别为,显然
将代入椭圆,得
即.
所以
将代入直线,得
由,得,所以
由,得,所以
所以
所以为定值
【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.
请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程
（2）设，，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；
【小问1详解】
解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，
因为，
所以，
又，所以当且仅当时，，
因为，所以，，因为，所以，
故椭圆的标准方程为
【小问2详解】
解：由（1）知，设，，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；
20、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦点坐标可得，根据点到短袖一个端点的距离为，然后根据即可；
（2）先设联立直线与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到，两点的坐标关系，然后根据建立关于直线的斜率的不等式，解出不等式即可.
【小问1详解】
根据题意，已知椭圆的左焦点为，则有：
点到短袖一个端点的距离为，则有：
则有：
故椭圆的方程为：
【小问2详解】
设过点作斜率为的直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程可得：

则有：,
直线过点，所以恒成立，
不妨设，两点的坐标分别为：，则有：

又
且
则有：

将，代入后可得：

若，则有：
解得：或
21、（1）
（2）的方程为、、
【解析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.
【小问1详解】
抛物线的焦点在轴上，且开口向上，
直线与轴的交点为，则，
所以，抛物线的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
，解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述，的方程为、、.

22、（1）
（2）
【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；
（2）用空间向量法求二面角
【小问1详解】
以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
当时，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨得，，
又，所以，
则
【小问2详解】
在长方体中，
因为平面，所以平面平面，
因为平面与平面交于，
因为四边形为正方形，所以，
所以平面，即为平面的一个法向量，
，所以，
又平面的法向量为，
所以.