浙江省湖州市菱湖中学2025-2026学年数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

浙江省湖州市菱湖中学2025-2026学年数学高二上期末学业水平测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．已知向量，，且，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，点为切点.若的面积不大于，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（ ）

A.10 B.20
C.30 D.40
5．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
7．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝(　　)
A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}
C.{0,1,2} D.不能确定
8．直线的倾斜角的大小为
A. B.
C. D.
9．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A.2 B.
C. D.
10．已知平面的一个法向量为=（2，－2，4），=（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（　　）
A.l⊥ B.
C.l与相交但不垂直 D.l∥
11．记等比数列的前项和为，若，，则（）
A.12 B.18
C.21 D.27
12．焦点为的抛物线标准方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________
14．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________
15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
16．已知函数，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，其顶点坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍

（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；
（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
19．（12分）已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度.
20．（12分）已知抛物线的准线方程为
（1）求C的方程；
（2）直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由
21．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆
（1）求椭圆方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值
22．（10分）在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）求角A
（2）若，，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D

【点睛】解答本题的关键是将满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数转化为圆与圆的公切线条数，从而根据圆与圆的位置关系判断出公切线条数.
2、A
【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.
【详解】因为向量，，
所以，，
因为，
所以，解得：，
故选：A.
3、C
【解析】由题意，设，直线方程为，则由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求出，进而可得，结合即可得答案.
【详解】解：因为抛物线的性质：在抛物线上任意一点处的切线方程为，设，
所以在点处的切线方程为，在点B处的切线方程为，
因为两条切线都经过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
联立直线与抛物线方程有，消去得，
由得，，由韦达定理得，
所以弦长，
所以，
整理得，即，解得，又
所以.
故选：C.
4、B
【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以颈部高为，
故选：B
5、C
【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.
【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；
对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，
，即，或，即，
当时，有，即，是严格递增数列，
当时，有，即，是严格递增数列，
所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件
故选：C
6、C
【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.
由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a的取值范围是,故选C.
7、C
【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.
所以.
故选C.
点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.
8、A
【解析】考点：直线的倾斜角
专题：计算题
分析：因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以欲求直线的倾斜角，只需求出直线的斜率即可，把直线化为斜截式，可得斜率，问题得解
解答：解：∵x-y+1=0可化为y=x+，
∴斜率k=
设倾斜角为θ，则tanθ=k=，θ∈[0，π）
∴θ=
故选A
点评：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于直线方程的基础题型，需要学生对基础知识熟练掌握
9、B
【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
所以则，
当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，
由题意可得，
设切线PA的方程为：，
，整理可得，
，可得，
将代入，可得，所以，
即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，
所以的最大值为：，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化
10、A
【解析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系
【详解】因为，所以，所以
故选：A
11、C
【解析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C
12、D
【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
因为抛物线的焦点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据数学归纳法的步骤即可解答.
【详解】用数学归纳法证明等式：，
验证时，等式左边=.
故答案为：.
14、##
【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出
【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以， ，即
故答案为：
15、
【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.
【详解】令可得，
若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，
即与的图象有三个不同的交点，
作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，
此时与的图象没有交点，不符合题意；
当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，时，与的图象有一个交点，
所以时与的图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，
可得与的图象有两个不同的交点，
令，则，
由即可得，
由即可得，
所以在单调递增，在单调递减，
作出其图象如图：

当时，，
当
时，可得与的图象有两个不同的交点，
即时，函数有三个零点，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16、
【解析】根据导数的定义求解即可
【详解】由，得，
所以

，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可；
（2）先求出，再求出C到AB的距离即可得到答案.
【小问1详解】
由已知，，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
，
C到直线AB的距离为，
所以的面积为.
18、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9
【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；
（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；
（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值
【详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，
因此优秀学生有（人）；
（2）设第一组频率为，则第二组频率为，
所以，，
第一组频率为，第二组频率为
频率分布直方图如下：

（3）前3组数据的频率和为，中位数在第四组，
设中位数为，则，
均值为
19、（1）
（2）16
【解析】（1）设抛物线的标准方程为：，再代入求解即可.
（2）根据焦点弦公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上，
所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：，
代入点的坐标得：，解得
则抛物线的标准方程为：.
【小问2详解】
焦点，则直线的方程是，设，，
由得，，
所以，则，故.
20、（1）
（2）见解析
【解析】（1）根据准线方程得出抛物线方程；
（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理结合求解即可.
【小问1详解】

【小问2详解】
设，联立，得
由，得，
假设C上存在点Q，使得直，则
又

即存在点满足条件.
21、（1）；（2）
【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；
(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.
【详解】解：（1）设点，，
则点，，，
∵，∴，∴，
∵点在椭圆上，
∴，即为点的轨迹方程
又∵点的轨迹是过的圆，
∴，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由题意，可设的方程为，
联立方程，得
设，，
则，且，
所以，
同理，
又与的距离为，
所以，四边形的面积为，
令，则，
且，
当且仅当，即时等号成立
所以，四边形的面积最大值为
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
由正弦定理知，，
即
又，且．所以，
由于．所以；
【小问2详解】
由余弦定理得：，

又，所以
所以.