2025年安徽省太和县第二中学数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

2025年安徽省太和县第二中学数学高二上期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
2． “”是“方程表示双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
A.10 B.12
C.16 D.20
5．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A.1 B.2
C. D.4
6．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（ ）
A. B.
C.2 D.3
7．等比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知，若，则（ ）
A. B.
C. D.
9．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）

A.153 B.190
C.231 D.276
10．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A. B.
C. D.
11．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.函数在上是增函数
B.函数在上是减函数
C.是函数的极小值点
D.是函数的极大值点
12．若是函数的极值点，则函数（）
A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值
C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________
14．无穷数列满足：只要必有，则称为“和谐递进数列”，已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________，若数列前项和为，则__________.
15．已知命题，则命题的的否定是___________.
16．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围
18．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.
19．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：

其中一个数字被污损.
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）
年龄（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式：，.
20．（12分）已知函数
（1）判断的零点个数；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围
21．（12分）已知函数
（1）求f(x)在点处的切线方程；
（2）求证：
22．（10分）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.
【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，

平行移动直线直线，
可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,
联立，解得，
当且仅当动直线即过点时，
取得最小值为，
故选：B
2、A
【解析】方程表示双曲线则 ，解得 ，
是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A
3、B
【解析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
4、D
【解析】利用椭圆的定义即可得到结果
【详解】椭圆，
可得，
三角形的周长，，
所以：周长，
由椭圆的第一定义，，
所以，周长
故选D
【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查
5、B
【解析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
6、A
【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.
【详解】，，由中点坐标公式，得，
所以.
故选：A
7、D
【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；
故选：D
8、B
【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，即，解得.
故选：B
9、C
【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：C
10、B
【解析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.
【详解】轴截面如图，其中，，所以，
所以，所以圆锥的侧面积.
故选：B

11、A
【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；
是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误
故选：A
12、A
【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.
【详解】由题设，且，
∴，可得.
∴且，
当时，递减；当时，递增；
∴有极小值，无极大值.
综上，有最小值，无最大值.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程
【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为
故答案为：
14、 ①.2 ②.7578
【解析】根据前四项成等比数列及定义可求得，根据新定义得数列是周期数列，从而易求得
【详解】∵成等比数列，，，
又，为“和谐递进数列”，，，，，…，
数列是周期数列，周期为4，
故答案为：2，7578
15、
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即，
故答案为：
16、1
【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.
【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，
由圆的切线性质知：，
当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，
所以的最小值为1
故答案为：1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.
【详解】（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;
（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.
【详解】（1）设，，
因为，所以，
整理得，得（舍），或，
所以；
（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，
直线的方程为，
A，B两点的坐标满足方程组为，
消去y并整理，得，解得：，，
得方程组的解和,
不妨设：，，
所以，于是，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
整理得：，得（舍），或，
所以椭圆方程为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.
19、（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）先根据两个平均值的大小得到的取值范围，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用方程进行预测.
试题解析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.
（2）由表中数据得，，
∴，线性回归方程.
可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.
20、（1）个；
（2）.
【解析】（1）求，利用导数判断的单调性，结合单调性以及零点存在性定理即可求解；
（2）由题意可得对任意恒成立，令，则，利用导数求的最小值即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
由可得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，此时在上无零点，
当时，，，，
且在上单调递增，
由零点存在定理可得在区间上存在个零点，
综上所述有个零点.
【小问2详解】
由题意可得：对任意恒成立，
即对任意恒成立，令，则，
由可得：，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围.
21、（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；
（2）将转化为，设，，利用导数法证明.
【详解】（1）函数的定义域是
，可得
又，
所以f(x)在点处的切线方程为
整理得（或斜截式方程）
（2）要证
只需证
因为，所以不等式等价于
设，
，；
所以在单调递减，在单调递增
故
又，；
所以在单调递增，在单调递减
故
因为且两个函数的最值点不相等
所以有，原不等式得证
22、（1）（2）（3）直线方程为 4x+3y-23=0，弦长为
【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长
试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，
两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 + ，
由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=
（2）由两圆的圆心距d= ="5" 等于两圆的半径之差为|- |，
即| - |=5，可得 - ="5" （舍去），或 - =-5，解得m=
（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d==2，可得弦长为
考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题