广西柳州铁一中学2026届数学高二上期末统考模拟试题含解析.doc

广西柳州铁一中学2026届数学高二上期末统考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）
A.0 B.1
C.无数个 D.0或无数个
2．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线.
①方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限；
②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2；
③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).
则上述结论中正确的个数是（ ）

A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
4．在等比数列中，，，则等于（）
A. B.5
C. D.9
5．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，] B.（0，]
C.，1) D.，1)
6．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
7．若，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．下列抛物线中，以点为焦点的是（ ）
A. B.
C. D.
10．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A.0.48，0.48 B.0.5，0.5
C.0.48，0.5 D.0.5，0.48
11．是双曲线：上一点，已知，则的值（）
A. B.
C.或 D.
12．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种
A.360 B.630
C.2520 D.15120
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.
14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______
15．假设要考查某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是______
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
16．已知函数，则的值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点

（1）求证：；
（2）求直线AB与平面所成角的正弦值
18．（12分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
已知，且　　（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂的项的系数之和
19．（12分）已知圆与
（1）过点作直线与圆相切，求的方程；
（2）若圆与圆相交于、两点，求的长
20．（12分）设函数，
（1）求的最大值；
（2）求证：对于任意恒成立．（参考数值：）
21．（12分）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，
（1）求数列的首项和公差；
（2）求的最小值.
22．（10分）已知抛物线的焦点在直线上
（1）求抛物线的方程
（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，
当时，，
所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，
综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.
故选：D.
2、B
【解析】对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断
【详解】对于①，由，得异号，方程(xy<0)关于原点及y=x对称，
所以方程(xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确，
对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确，
对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误，
对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误，
故选：B
3、B
【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的，，
所以，
所以双曲线的右焦点为：，
由题意，，
两边平方解得，，
则双曲线的渐近线方程为：.
故选：B.
4、D
【解析】由等比数列的项求公比，进而求即可.
【详解】由题设，，
∴
故选：D
5、B
【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，

因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，
整理，得，又，
所以.
故选：B
6、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
7、A
【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.
【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故
故选：A
8、D
【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.
【详解】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
9、A
【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.
【详解】∵抛物线为，
∴可设抛物线方程为，
∴即，
∴抛物线方程为，
故选：A.
10、C
【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.
【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.
概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.
故选：C
11、B
【解析】根据双曲线定义，结合双曲线上的点到焦点的距离的取值范围，即可求解.
【详解】双曲线方程为：，
是双曲线：上一点，，
，或，
又，.
故选：B
12、C
【解析】，先安排复习节的科目，然后安排其余科目，由此计算出不同的复习安排方法数.
【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，
第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，
所以不同的复习安排方法有种.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 [﹣，0]
【解析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可
【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），
∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，
由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；
当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，
则•的取值范围是[，0]
故答案为：[，0]

【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目
14、2
【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值
【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，
因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，

所以，则 ，
由抛物线的定义可得，
又是的中点，所以到准线的距离为,
故答案为：2
15、【解析】根据随机数表法依次列举出来即可.
【详解】根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为：331、572、455、068.
故答案为：068.
16、
【解析】先求出的导函数，然后将代入可得答案.
【详解】，所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；
（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
在三棱柱中，平面，则平面，
由平面，则，
，则，又为的中点，则，
又，则平面，
由平面，因此，.
【小问2详解】
以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得：，，，，，，.
∴，，，，
设为面的法向量，则，令得，
设与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18、（1）选①②③，答案均为；
（2）66
【解析】（1）选①时，利用二项式定理求得的通项公式为，从而得到，求出n的值；选②时，利用二项式系数和的公式求出，解出n的值；选③时，利用赋值法求解，，从而求出n的值；（2）在第一问求出的的前提下进行赋值法求解.
【小问1详解】
选①，
其中，而的通项公式为，当时，，所以，解得：；
选②，
由于，所以，解得：；
选③，
令中得：，再令得：，解得：；
【小问2详解】
由（1）知：n=7，所以，
令得：，
令得：，
两式相减得：，所以，故展开式中的奇数次幂的项的系数和为66.
19、（1）或
（2）
【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；
（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.
【小问1详解】
解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为
若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件
若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：
由与圆相切可得：，解得：
所以的方程为：，即：
综上可得的方程为：或
【小问2详解】
联立两圆方程得：，
消去二次项得所在直线的方程：，
圆的圆心到的距离，
所以.
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.
（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.
【小问1详解】
，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故.
【小问2详解】
因为，故当时，，
即，
而在为减函数，
故在上有，
故任意的，总有.
要证任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
由（1）可得，任意，有即，
故即证：任意恒成立，
设，即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
设，
则，而在为增函数，
，故存在，使得，
且时，，时，，
故在为减函数，在为增函数，
故任意，总有，
故任意恒成立，
所以任意恒成立.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.
21、（1）首项为-2，公差为1；
（2）.
【解析】(1)设出等差数列的公差，再结合前n项和公式列式计算作答.
(2)由(1)的结论，探求数列的性质即可推理计算作答.
【小问1详解】
设等差数列首项为，公差为，而为其前n项和，，，
于是得：，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，，，数列是递增数列，前3项均为非正数，从第4项起为正数，
而，于是得的前2项和与前3项和相等并且最小，
所以当或时，.
22、（1）
（2）的方程为、、
【解析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.
【小问1详解】
抛物线的焦点在轴上，且开口向上，
直线与轴的交点为，则，
所以，抛物线的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，，
，解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述，的方程为、、.