河北省容城博奥学校2026届数学高二第一学期期末预测试题含解析.doc

河北省容城博奥学校2026届数学高二第一学期期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（）
A.﹣4 B.
C. D.±
2．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．抛物线的准线方程是，则a的值为（）
A.4 B.
C. D.
4．已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6． “直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示，当，，时，则（）

A. B.
C.或 D.
8． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
10．已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是
A. B.
C. D.
11．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A. B.
C. D.
12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.
14．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.
15．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.
16．计算：________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等差数列的前n项和，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和
18．（12分）如图，在正方体中， E为的中点

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值
19．（12分）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程
20．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点
（1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）；
（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由
21．（12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围
22．（10分）已知圆，圆心在直线上
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为，即可得到结果，得到答案.
【详解】由题意，抛物线，可得，
又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即，解得.
故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2、D
【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，
所以可设双曲线的方程为，
则，，
所以该双曲线方程为.
故选：D.
3、C
【解析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，
所以.
故选：C
4、B
【解析】设，得到，利用椭圆的范围求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
因为，
所以，即，
故选：B
5、C
【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.
【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，
必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：

当为钝角时，在中，设，

有，，
即，，
所以
；
当时，所在直线方程，所以，，
，根据图象可得要使，点向右上方移动，
此时，
综上所述：的取值范围是.
故选：C
【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.
6、B
【解析】直线倾斜角的范围是[0°,180°)，直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值，据此即可判断求解.
【详解】直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；
直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；
综上，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
7、B
【解析】按照框图考虑成立和不成立即可求解.
【详解】因为，，，所以输入，当成立时，，即，
解得，，满足条件；当不成立时，，即，解得，，不满足条件；
故.
故选：B.
8、B
【解析】求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，因“”“”且“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
10、D
【解析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.
【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：
（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；
（3）：真假相反.
11、B
【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
12、A
【解析】利用空间向量加法法则直接求解
【详解】连接BD，如图，

则

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，
于是得，即，
由得，而，于是得，即
因，则，，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
14、
【解析】设点，，坐标分别为，则根据题意有，分别将点，，的坐标代入椭圆方程得，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，代入得到关于的齐次式，然后解出离心率.
【详解】设，，坐标分别为，
因为的重心恰好是坐标原点，则，
则，代入椭圆方程可得，
其中，所以……①
因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，
联立方程消去可得：，
所以，……②
所以……③，
将②③代入①得，从而.
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意，，三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.
15、1
【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论
【详解】解：由题意，可得，设，，，，
是线段的中点，则，，
，当且仅当时取等号，
直线的斜率的最大值为1
故答案为：1
16、
【解析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.
【详解】.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的首项、公差，由列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法可求数列的前n项和.
小问1详解】
依题意：设等差数列的首项为，公差为，则解得
所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）可知
因为，所以，
所以.
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：

在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.

[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得
由，得，
整理得
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为

[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以
【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出即可得出；
（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.
【小问1详解】
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.
20、（1）；
（2）是，该定值.
【解析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可；
（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【小问1详解】
显然直线存在斜率，设直线的方程为：，
所以有，设，
则有，
，
原点到直线的距离为：，
△OAB的面积为：，
当时，有最小值，最小值为；
【小问2详解】
是定值，理由如下：
由（1）可知：，，

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
21、（1）；（2）
【解析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；
（2）将代入，得
由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则
代入可求得的范围
【详解】(1)设双曲线的方程为，
则，再由，得
故的方程为
(2)将代入，
得
由直线与双曲线交于不同的两点，得

①
设
则

又，得，
，即，解得②
由①②得＜k2＜1，
故的取值范围
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
22、（1）；（2）
【解析】（1）由圆的一般式方程求出圆心代入直线即可求出得值，即可求解；
（2）先计算圆心到直线的距离，利用即可求弦长.
【详解】（1）由圆，可得
所以圆心为，半径
又圆心在直线上，即，解得
所以圆的一般方程为，
故圆的标准方程为
（2）由（1）知，圆心，半径
圆心到直线的距离
则直线被圆截得的弦的长为

所以，直线被圆截得弦的长为
【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.