2025年福建省龙岩市龙岩二中数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

2025年福建省龙岩市龙岩二中数学高二第一学期期末经典试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
2．已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A.只有2次出现反面 B.至少2次出现正面
C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面
4．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A.3 B.2
C. D.
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A.3 B.1
C.0 D.﹣1
7．如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（）

A. B.
C. D.
8．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）

A.180 B.179
C.178 D.177
9．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）海里.

A. B.
C. D.10
11．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）
A. B.
C. D.
12．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________
14．与双曲线有共同渐近线，并且经过点的双曲线方程是______
15．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则___________.
16．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）△ABC的三个顶点分别为
（1）求△ABC的外接圆M的方程；
（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值
18．（12分）如图，P为圆上一动点，点A坐标为，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q

（1）求点Q的轨迹E的方程；
（2）过点A的直线l交E于C，D两点，若△BCD内切圆的半径为，求直线l的方程.
19．（12分）已知数列的前n项和，满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前n项和.
20．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆
（1）求椭圆方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值
21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：点（n，bn）在曲线y＝上，a1＝b4，___，数列{}的前n项和为Tn
从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出满足题意的k值；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.
2、A
【解析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.
【详解】令，则函数的定义域为，
且，则函数为偶函数，
所以，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故函数在上为减函数，
由等价于或：
当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
3、D
【解析】根据对立事件的定义选择
【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”
故选：D
4、B
【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.
【详解】令公差为，则，解得，
所以，
当时，取最大值.
故选：B
5、D
【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，
∴≥2
∴，
故选D

【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题
6、C
【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解
【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值

故选：C

7、B
【解析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱锥用表示出即可.
【详解】由题设，，，，
.
故选：B
8、D
【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从
右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.
【详解】
（个）.
所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.
故选：D.
9、C
【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.
【详解】由题知直线AB的方程为，即，
∴到直线AB距离，

又三角形的内切圆的面积为，
则半径为1，
由等面积可得，
.
故选：C.
10、C
【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
所以，
在中，可得，
在直角中，因为，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以.
故选：C.

11、A
【解析】由题意可得，所给的椭圆中的，的值求出的值，进而判断所给命题的真假
【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即，
即，
中，，，所以，
故，所以正确；
中，，，所以，所以不正确；
中，，，所以，所以不正确；
中，，，所以，所以不正确；
故选：
12、D
【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.
【详解】解：因，
所以，
又
故切线方程为，
整理为，
故答案为：
14、
【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果
【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，
该双曲线经过点，

所求的双曲线方程为：，
整理得
故答案为
【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.
15、
【解析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出点，再利用空间两点间的距离公式即可求.
【详解】因为B与关于原点对称，故，
所以.
故答案为：.
16、7
【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.
【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，
由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：

由双曲线定义有，又，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）设出圆的一般方程，根据的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程；
（2）根据（1）中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.
【小问1详解】
设圆M的方程为，因为都在圆上，
则，解得，
故圆M的方程为，也即.
【小问2详解】
由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，
点M到直线的距离
故.
18、（1）
（2）
【解析】（1）连接，由，利用椭圆的定义求解；
（2）设点，，直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，利用等面积法求解.
【小问1详解】
解：连接，由题意知：，
，
即的轨迹为椭圆，其中，，，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设点，，直线的方程为，
与椭圆联立，消去整理得，
显然成立，故，，
由椭圆定义得的周长为，
则的面积，
又由，得，
从而得，即，
整理得，解得，故，
故直线的方程为.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先将变为，然后等式两边同除即可得答案；
（2）求出，再用错位相减求和
【小问1详解】
证明：∵
∴
由已知易得，
∴
∴数列是首项，公差为的等差数列；
【小问2详解】
由（1）可知，
∴
∴①
②
①－②有

∴
20、（1）；（2）
【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；
(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.
【详解】解：（1）设点，，
则点，，，
∵，∴，∴，
∵点在椭圆上，
∴，即为点的轨迹方程
又∵点的轨迹是过的圆，
∴，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由题意，可设的方程为，
联立方程，得
设，，
则，且，
所以，
同理，
又与的距离为，
所以，四边形的面积为，
令，则，
且，
当且仅当，即时等号成立
所以，四边形的面积最大值为
21、（1）条件选择见解析；an＝2n，bn＝25﹣n.
（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）把点（n，bn）代入曲线y＝可得到bn＝25﹣n，进而求出a1，设等差数列{an}的公差为d，
选①S4＝20，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选②S3＝2a3，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；
若选③3a3﹣a5＝b2，利用等差数列的通项公式公式可求出d，从而得到an；
（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣，不等式无解，即不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
【小问1详解】
解：∵点（n，bn）在曲线y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
若选①S4＝20，则S4＝＝20，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选②S3＝2a3，则S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，
∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
若选③3a3﹣a5＝b2，则3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，
∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
【小问2详解】
解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），
∴＝＝，
∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，
假设存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞，
∴，即，此不等式无解，
∴不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞
22、（1）x2＝2y；
（2）证明见解析
【解析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.
【小问1详解】
∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，
∴|NF|＝，解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y；
【小问2详解】
依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.
则x1x2＝﹣2，∴.
故k1k2为定值.
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.