2025年四川省绵阳市数学高二上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年四川省绵阳市数学高二上期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
2．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A.3 B.5
C.6 D.10
3．已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A.66 B.72
C.132 D.198
4．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）

A. B.
C. D.
5．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）

A.2 B.6
C.14 D.30
6．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（）
A.5 B.6
C.7 D.8
7．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知等比数列的前项和为，若公比，则＝（）
A. B.
C. D.
10．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　
A. B.
C. D.
11．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A.至多等于3 B.至多等于4
C.等于5 D.大于5
12．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（）

A.①④ B.②③
C.①② D.③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知经过两点，的直线的斜率为1，则a的值为___________.
14．已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为______

15．若圆心坐标为圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.
16．椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和满足，数列满足
（1）求，的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和
18．（12分）已知数列为正项等比数列，满足，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列的前n项和
19．（12分）2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜·基秣崔天以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

体能一般
体能优秀
合计
数学一般
50
50
100
数学优秀
40
60
100
合计
90
110
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？（结果精确到小数点后两位）
（2）①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；
②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差
参考公式：，其中
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.25
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

20．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
21．（12分）已知抛物线过点.
（1）求抛物线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，且，求证：过定点.
22．（10分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程
【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得
故选：
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题
2、B
【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】因为数列为等差数列，
由，可得，，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.
3、A
【解析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.
【详解】因为等差数列的公差,
所以，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 或12时，该数列的前项和取得最大值，
最大值为，
故选：A
4、B
【解析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
5、C
【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.
【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.
故选：C
6、D
【解析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解.
【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
则由抛物线的定义可知
∵，当点、、三点共线时等号成立，
∴，
故选：.
7、A
【解析】根据条件可知四边形为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.
【详解】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）.
故选：A.
8、D
【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
9、A
【解析】根据题意，由等比数列的通项公式与前项和公式直接计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：A.
10、C
【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论
【详解】解：

故选：

【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题
11、B
【解析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立
故选B
点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题
12、B
【解析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.
【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；
对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立；
对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；
对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、6
【解析】根据经过两点的直线斜率计算公式即可求的参数a﹒
【详解】由题意可知，解得
故答案为：6
14、
【解析】根据双曲线的定义先计算出，，注意到图中渐近线，于是利用两种不同的表示法列方程求解.
【详解】，则，由双曲线的定义及在右支上，
，又在左支上，则，则，在中，由余弦定理，，而图中渐近线，于是，得，于是，不妨令，化简得，解得，渐近线就为：.
故答案为：.
15、
【解析】利用垂径定理计算即可.
【详解】设圆的半径为，
则，
得.
故答案为：.
16、
【解析】设，利用“点差法”得到，即可求出离心率.
【详解】设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.
又，相减得：.
所以
所以
所以，所以，即离心率.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）由求得的递推关系，结合可得其为等比数列，从而得通项公式，代入计算得；
（2）求出，由错位相减法求和
【详解】（1）由可得，
，即，
易知，故.
.
（2）由（1）可知，
①，
②，
①－②得

，
.
【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及错位相减法求和．数列求和的常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法
18、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）将已知条件用首项和公比表示，联立方程组即可求解数列的通项公式，然后由对数的运算性质即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求出，然后利用裂项相消求和法求出数列的前n项和，即可证明.
【小问1详解】
解：设等比数列的公比为，
由题意，得，即，解得或（舍），
又，所以，
所以，；
【小问2详解】
解：，
所以，
所以
19、（1）不能，理由见解析；
（2）①，②，
【解析】（1）运用公式求出，比较得出结论.
（2）①先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人是“体能优秀”的概率.
②根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差的公式即可求出答案
【小问1详解】
由表格的数据可得，，
故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关.
【小问2详解】
①在数学优秀的人群中，“体能优秀”与“体能一般”的比例为
“体能一般”的人数为，
“体能优秀”的人数为
故再从这10人中随机选出4人，其中至少有2人是“体能优秀”的概率为.
②由题意可得，随机抽取一人“体能优秀”的概率为，且
故，
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设的公差为，
由已知得，解得，
所以.
【小问2详解】

所以.
21、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）运用代入法直接求解即可；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【小问1详解】
由已知可得：；
【小问2详解】
的斜率不为设，
，
或，
因为直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，
所以，即过定点.
【点睛】关键点睛：运用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据焦半径公式可求，从而可求抛物线的方程.
（2）求出的长度后可求的面积.
【小问1详解】
因为，所以，
故抛物线方程为：.
【小问2详解】
设，且，
由可得，故或，
故，故，故，
而到直线的距离为，
故的面积为