2025-2026学年辽宁省大连市普兰店市第六中学高二数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年辽宁省大连市普兰店市第六中学高二数学第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A.3 B.2
C. D.
2．在数列中，，则（）
A. B.
C.2 D.1
3．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
4．直线与圆相交与A，B两点，则AB的长等于（ ）
A 3 B.4
C.6 D.1
5．等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（）
A. B.2
C.或2 D.或
6．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
7．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，··· ，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为

A. B.
C. D.
8．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（）
A. B.
C. D.
9．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当时，，且f(-1)=0，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
11．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
12．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. B.0
C.6 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是_______________
14．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
15．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
16．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1

（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；
（2）在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由
18．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；
（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.
20．（12分）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=

（1）求证：EF∥平面ADD1A1；
（2）求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；
（3）在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求：
（1）种植万千克莲藕利润(单位：万元)为的解析式；
（2）要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值.
22．（10分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，，试求，满足的关系式.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，
∴≥2
∴，
故选D

【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题
2、A
【解析】利用条件可得数列为周期数列，再借助周期性计算得解.
【详解】∵
∴，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
∴，
故选：A.
3、A
【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，，即圆与相交，直线AB方程为：，
圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.
故选：A
4、C
【解析】根据弦长公式即可求出
【详解】因为圆心到直线的距离为，所以AB的长等于
故选：C
5、C
【解析】根据等比数列的通项公式计算可得；
详解】解：依题意、，所以，即，所以；
故选：C
6、B
【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】因为，则，解得.
故选：B.
7、A
【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.
【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，
又本次赛车中，共名参赛选手，
所以，这名选手中获奖的人数为.
故选A
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.
8、B
【解析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.
【详解】如下图，正方体中如：中任意2条所在的直线都是异面直线，

∴这样的3条直线共有8种情况，
∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为.
故选：B.
9、A
【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
10、D
【解析】根据题意可知，当时，，即函数在上单调递增，再结合函数f(x)的奇偶性得到函数的奇偶性，并根据奇偶性得到单调性，进而解得答案.
【详解】由题意，当时，，则函数在上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在上的奇函数，于是在上单调递增，而f(-1)=0，则.
于是当时，.
故选：D.
11、D
【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.
【详解】由得，画出图像如图：

当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，
当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，
由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.
故选：D.
12、C
【解析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.
【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意，,.
故答案为.
14、
【解析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：
15、
【解析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.
【详解】∵，，使得成立，
∴
由，得，
当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为
又在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是
故答案为：.
16、
【解析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论
【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）存在，点P为棱SD靠近点D的三等分点
【解析】（1）由的面积为1，得到，，由，点P为SD的中点，所以，同理可得，根据线面垂直的判断定理可得平面PAC，
再由面面垂直的判断定理可得答案；
（2）存在，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 假设在棱SD上存在点P，设，求出平面PAC、平面ACD的一个法向量，由二面角的向量法可得答案.
【小问1详解】
因为点S在底面ABCD上的射影为O，所以平面ABCD，
因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，
又因为的面积为1，所以，，所以，
因为，点P为SD的中点，所以，同理可得，
因为，AP，平面PAC，所以平面PAC，
又平面SCD，∴平面平面PAC
【小问2详解】
存在，连接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
又， 可得两两垂直，
分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，
假设在棱SD上存在点P使二面角的余弦值为，
设，，，所以，，
设平面PAC的一个法向量为，则，
因为，，
所以，令，得，，
因为平面ACD的一个法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍），
所以存在P点符合题意，点P为棱SD靠近点D的三等分点
18、（1）；
（2）存在，最大距离为.，理由见解析
【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.
【小问1详解】
由题设知：且，又，
∴，故椭圆C的方程为.
小问2详解】
联立直线与椭圆，可得：，
∴，即直线与椭圆相离，
∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，
令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，
∴，可得，
当，切线为，其与直线距离为；
当，切线为，其与直线距离为；
综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.
19、（1）
（2）线段上存在一点，当时，平面.
【解析】（1）设点到平面的距离为，则由 ，由体积法可得答案.
（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.
【小问1详解】
由，，为中点，则
由平面，平面,则
又，且,则平面
又，则平面,且都在平面内
所以
所以,
取的中点，连接，则,所以,所以
所以
所以
则

设点到平面的距离为，则由
即,即
【小问2详解】
线段上是否存在一点，使平面.
由（1）连接,则四边形为平行四边形，则
过点作交于，则
为中点，则为的中点,即
又平面，则平面
过点作交于点，连接，则,即
又平面,所以平面
又，所以平面平面
又 平面,所以平面
所以线段上存在一点，当时，平面.

20、（1）证明见解析；（2）；（3）不存在；理由见解析
【解析】（1）连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO，根据判定定理证明四边形AEFO是平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，求出两个面的法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的夹角的余弦值；（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD，设出点M的坐标，由第二问得到平面EFD的一个法向量，判断出和该法向量不平行，故不存在满足题意的点M.
【详解】（1）证明：连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO
因为F是A1C的中点，
所以OF∥CD，OF=CD
因AE∥CD，AE=CD，
所以OF∥AE，OF=AE
所以四边形AEFO是平行四边形
所以EF∥AO
因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，
所以EF∥平面ADD1A1
（2）以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD=AA1=2，AB=，
所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F
所以=，=(0，1，1)
设平面EFD的法向量为，
则即
令y=1，则z=-1，x=2
所以，
由题知，平面DEC的一个法向量为m=(0，0，1)，
所以cos<，>==
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是
（3）假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD
设点M的坐标为(0，t，2)(0≤t≤2)，则=(，t，2)
因为平面EFD的一个法向量为，而与不平行，
所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD
21、（1），；
（2）6万千克，万元.
【解析】(1)根据题意找等量关系即可求g(x)解析式，根据函数值可求a；
(2)根据g(x)导数研究其单调性并求其最大值即可.
【小问1详解】
种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为：
，，
即，，
当时，，解得，
故，；
【小问2详解】
，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴时，利润最大为万元.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）根据直线与圆相切可得，再结合离心率及间的关系可得的值，进而得到椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，分别求出点的坐标后再求出的值，进而得到，最后根据斜率公式可得所求的关系式
【详解】（1）因为圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离，
即
所以，
又由题意得
所以，
所以椭圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，
由，解得 或，
不妨设，，
所以，
又，
所以，
所以，
整理得
所以满足的关系式为.
②当直线的斜率存在时，设直线，
由消去并整理得，
设点，
则有，
所以

.
所以，
所以，
整理得
综上可得满足的关系式为
【点睛】（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆就有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标
（2）对于直线与椭圆位置关系的题目，注意设而不求和整体代入方法的运用．解题步骤为：
①设直线与椭圆的交点为；
②联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；
③利用根与系数的关系设而不求；
④利用题干中的条件转化为，或，，进而求解.