湖北省广水一中等重点高中联考协作体2026届数学高二第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

湖北省广水一中等重点高中联考协作体2026届数学高二第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线，则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）
A. B.
C. D.
2．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）

A. B.
C. D.
3．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A. B.
C. D.
4．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（ ）

A. B.
C. D.
5．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
A.11 B.12
C.13 D.14
7．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）

A. B.
C. D.
8．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()
A B.
C. D.
9．若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（　　）
A. B.（-∞，1）
C. D.（1， +∞）
10．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（）
A. B.
C. D.
11．若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
12．计算复数：（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在点处的切线方程是_________
14．已知曲线与曲线有相同的切线，则________
15．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________
16．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.
（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积.

18．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，点M在抛物线C的准线上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM

（1）当λ＝3时，求|AB|的值；
（2）当λ∈[]时，求|+|的最大值
19．（12分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2

（1）求图中a，b，c的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）；
（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心（高的交点），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围
22．（10分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】化简方程，得到，求出的范围，作出曲线的图形，通过图象观察，即可得到原点距离的最小值
详解】解：即为
，
两边平方，可得，
即有，则
作出曲线的图形，如下：
则点与点或的距离最小，且为
故选：A

2、C
【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,
所以不等式的解集为.
故选:C
3、B
【解析】根据代入计算化简即可.
【详解】
故选：B.
4、D
【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.
【详解】

.
故选：D
5、C
【解析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.
【详解】解：因为不等式解集为，
所以方程的解为或，且，
所以，所以，
所以，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
6、B
【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人
∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，
接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人
考点：系统抽样
7、C
【解析】取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.
【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.
故选：C

8、C
【解析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，
∴
又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离
故选：C.
9、A
【解析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为
所以当时,
两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列
当时,
所以，
则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故选：A.
10、A
【解析】由可求得，利用可构造方程求得.
【详解】，，
，，
，解得：.
故选：A.
11、C
【解析】设直线l倾斜角为 ，根据题意得到，即可求解.
【详解】设直线l的倾斜角为，
因为直线的斜率是，可得，
又因为，所以，即直线的倾斜角为.
故选：C.
12、D
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.
【详解】
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
则且，
所以在点处切线方程是，即
故答案为：.
14、0
【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】设切点分别为，
由题意可得，则，即
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得
故答案为：0
15、
【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
16、9
【解析】由数列的前项和为，则当时，，
所以，
所以数列的前和为，
当时，，
当时，，
所以满足的最小的值为.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析（2）
【解析】本试题主要是考查了线面平行的判定和三棱锥体积的求解的综合问题．培养了同学们的推理论证能力和计算能力
（1）根据已知的条件关键是分析出EF//PA，利用线面平行判定定理得到
（2）根据上一问中的结论可知PM⊥平面ABCD.然后利用转换顶点的思想求解棱锥的体积
解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点，
E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA，
且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD
（Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.
在直角PAM中，求得PM=，∴PM=

18、（1）
（2）
【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量的关系可得的A，B的横坐标的关系联立求出直线AB的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；
（2）由（1）的解法类似的求出AB的中点N的坐标，可得直线AB的斜率与λ的关系，再由λ的范围，求出直线AB的斜率的范围，由题意设直线MF的方程，令y＝﹣1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值
【小问1详解】
当λ＝3时，即S△AFM＝3S△BFM，由题意可得＝3，
因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F（1，0），准线方程为y＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，
联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，
显然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，
由＝3，则（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，
①③联立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，
解得k2＝，
由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+2＝4×+2＝，
所以|AB|的值为；
【小问2详解】
由（1）可得AB中点N（2k，2k2+2），由＝λ，则x1＝﹣λx2④，
同（1）的算法：①②④联立4k2λ＝（1﹣λ）2，因为λ∈[]，
所以4k2＝λ+﹣2，
令y＝λ+，λ∈[]，
则函数y先减后增，所以λ＝2或时，y最大且为2+，此时4k2最大，且为，
所以k2的最大值为：，
直线MF的方程为：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，
即M（2k，﹣1），
因为|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，
所以|+|的最大值为
19、（1），，，均值为65.6
（2）
【解析】（1）根据a，b，c成等比数列且公比为2，得到a，b，c的关系，利用频率之和为1，求出a，b，c，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率.
【小问1详解】
由题意得，，，
有，
所以，即，
解得，于是，
评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为
【小问2详解】
评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人
则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4
从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个
其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个
则所求的概率，
即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为
20、（1）
（2）存在：
【解析】（1）根据题意，列出关于a，b，c的关系，计算求值，即可得答案.
（2）由（1）可得B、F点坐标，可得直线BF的斜率，根据F为垂心，可得，可得直线l的斜率，设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，结合垂心的性质，列式求解，即可得答案.
【小问1详解】
因为焦距为4，所以，即，
又过点，所以，
又，联立求得，
所以椭圆C的方程为
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
因为F为垂心，直线BF与直线l垂直，
所以，则，即直线l的斜率为1，
设直线l的方程为，，
与椭圆联立得，，
所以，
因为F为垂心，所以直线BN与直线MF垂直，
所以，即，
又，
所以，即，
所以，解得或，
由，解得，
又时，直线l过点B，不符合题意，所以，
所以存在直线l：，满足题意.
21、（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.
【详解】解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.

22、（1）；（2）当或11时，最大值为55.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.
（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.
【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.
故，故.
（2）由（1）可得，
因为，对称方程为，故当或时，取最大值，
此时最大值为.