2025-2026学年广西省钦州市第一中学数学高二第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广西省钦州市第一中学数学高二第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，点关于原点对称点为，则（）
A. B.
C. D.
2．在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则(　　)
A.84 B.72
C.33 D.189
3．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
4．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
甲
9
8
16
15
15
14
乙
7
8
13
15
17
22
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）
A.， B.，
C.， D.，
5．设等差数列前项和为，若是方程的两根，则（ ）
A.32 B.30
C.28 D.26
6．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A. B.0
C.6 D.8
7．椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A. B.
C. D.
9．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10．下列说法正确的有（ ）个.
①向量，，，不一定成立；
②圆与圆外切
③若，则数是数，的等比中项.
A.1 B.2
C.3 D.0
11．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（ ）

A.9cm B.6cm
C.3cm D.4.5cm
12．已知公差为的等差数列满足，则（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.
14．已知数列的前n项和为，则______
15．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

16．已知空间向量，，若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；
（2）已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率.
18．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2

（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求点C到平面BEF的距离
19．（12分）已知等比数列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中项.数列{bn}满足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}前n项和Tn.
20．（12分）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求取值范围.
21．（12分）已知圆C1圆心为坐标原点，且与直线相切
（1）求圆C1的标准方程；
（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程
22．（10分）设函数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.
【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,
因此，
故选：C
2、A
【解析】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项的和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数，舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
3、B
【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.
【详解】
不妨设点为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
因此，即，
所以，即，令
因此，其中，
所以当时，有最大值，最大值为，
故选：B.
【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
二 、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
4、B
【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.
【详解】依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
5、A
【解析】根据给定条件利用韦达定理结合等差数列性质计算作答.
【详解】因是方程的两根，则
又是等差数列的前项和，于是得，
所以.
故选：A
6、C
【解析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.
【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.

故选：C
7、A
【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率
【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可
8、A
【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.
【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以 ，令，解得，所以切线方程为.
法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.
故选：A.
9、A
【解析】计算出复数即可得出结果.
【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，
故选：A.
10、A
【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③
【详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；
对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；
对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误
故选：A
11、A
【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出
【详解】由题意可得，，解得．故选：A
12、C
【解析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.
【详解】∵数列是公差为的等差数列，
∴，
∴.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】，当时，，
所以切线方程为，即；
令可得，令可得；
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
14、
【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.
【详解】，则，
故.
故答案为：3.
15、 ①. ②.
【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】过点分别作，，垂足分别为，，

则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.
16、7
【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】根据题意，易知，因为，所以，
即，解得
故答案为：7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用频率和为1求出a；利用百分位数的定义求出知识竞赛成绩的第50百分位数；
（2）先利用分层抽样求出男、女生的人数，利用古典概型求概率.
【小问1详解】
，由，解得
设该次知识竞赛成绩的第50百分位数为x，则，解得：.
即该次知识竞赛成绩的第50百分位数为
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：分数在）的人数有人，所以这人中，女生有人，记为、，男生有人，记为、、、
从这人中随机选取人，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种不同取法；
则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、，共种不同取法，
则所求的概率为
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；
（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.
【小问1详解】
因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，

所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.
【小问2详解】
设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为
19、 (1)；(2).
【解析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；
(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.
【详解】(1)设等比数列公比为q，
因为，所以，
因为是和的等差中项，所以，即，解得，
所以.
故答案为：.
(2)因为，所以为等差数列，
因为，，所以公差，
故.
所以

.
故答案为：.
20、 (1)时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.
【解析】（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a取值范围是.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C1的标准方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求
【小问1详解】
∵原点O到直线的距离为，
∴圆C1的标准方程为；
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入，
得，即直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即
∵直线l被圆C1所截得的弦长为，圆的半径为2，
则圆心到直线l的距离，解得
∴直线l的方程为，即
综上，直线l的方程为或
22、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；
（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
,
,
①当时，恒成立，
在上单调递增.
②当时，恒成立，在上单调递减，
③当吋，，
在单调递减，单调递增.
综上所述，当吋，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，单调递增.
【小问2详解】
由题意可知：

在单调递减，单调递增
由（1）可知：
①当时，在单调递增，则恒成立
②当时，在单调递减，
则应（舍）
③当时，，
则应有
令，则，且
在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解
综上，.
【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.