名校联盟2025-2026学年数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

名校联盟2025-2026学年数学高二上期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
2．集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
4．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C D.
5．已知双曲线的右焦点为F，则点F到其一条渐近线的距离为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A.076 B.104
C.390 D.522
7．在等差数列中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（ ）
A.或 B.或
C. D.
9．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A.5 B.10
C.4 D.
10．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A、B两点，直线与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为2，则的最小值为（ ）
A.24 B.20
C.16 D.12
11．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）

A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
12．从编号为1~120的商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号66的商品，则下列编号一定被抽到的是（）
A.111 B.52
C.37 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线的倾斜角为______
14．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.

15．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元
16．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点.设异面直线与所成的角为，则的最大值为____

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.
18．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点.求的最大值
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点，.请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求线段的长；
（2）若为线段上一点，且，求平面与平面夹角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线AP与直线（m为常数）交于点Q，
①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；
②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由
21．（12分）在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
22．（10分）设函数
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若在上单调递减，求a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程
【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，

设，，因为，所以，
因为，所以，则，
因为点是的右支上一点，所以，
所以，则，
因为，所以，，
由勾股定理可得：，即，
解得，则，
所以双曲线的方程为：
故选：B
2、A
【解析】先解不等式求得集合再求交集.
【详解】解不等式得：，则有，
解不等式，解得或，则有或，
所以为.
故选：A.
3、B
【解析】，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9．4×3．5+a，
∴=9．1，
∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5
考点：线性回归方程
4、B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
5、A
【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标，再写一渐近线方程，根据点到直线的距离公式可得答案.
【详解】双曲线的右焦点F坐标为，
根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，
故点F到渐近线的距离为 ，
故选：A
6、D
【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.
【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，
故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，
设，由题可知：，故可得，
故可得.
当时，.
故选：.
7、A
【解析】根据题设可得关于的不等式，从而可求的取值范围.
【详解】设公差为，因为，，所以，即，
从而.
故选：A.
8、A
【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
II卷
9、A
【解析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.
【详解】由题有，则
=5.
故选：A
10、C
【解析】设两条直线方程，与抛物线联立，求出弦长的表达式，根据基本不等式求出最小值
【详解】抛物线的焦点坐标为，设直线：，直线：，
联立 得：，所以，所以焦点弦，同理得：，所以，因为，所以
，
故选：C
11、D
【解析】由到直线的距离等于到点的距离可得到直线的距离等于到点的距离，然后可得答案.
【详解】因为到直线的距离等于到点的距离，
所以到直线的距离等于到点的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线
故选：D
12、A
【解析】先求出等距抽样的组距，从而得到被抽到的是，从而求出答案.
【详解】120件商品中抽8件，故，因为含有编号66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，当时，，其他三个选项均不合要求，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是
14、
【解析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.
【详解】设，因为，，，
所以，，，.
在中，，
即①.，
在中，，
即②，
因为，
所以①②两式相加可得：，解得：，
则，
故答案为：.
15、
【解析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可.
【详解】由题意知，
第一年本利和为：元，
第二年本利和为：元，
第三年本利和为：元，
以此类推，
第十年本利和为：元，
故答案：
16、
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，，由向量法可得，令，，，利用导数研究函数的单调性即可求得的最大值，从而可得答案
【详解】解：由题意，根据已知条件，直线AB，AD，AQ两两互相垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系

不妨设，则，0，，，0，，，1，，设，，，，
，，，，，，
，
令，，则，
函数在上单调递减，
时，函数取得最大值，
的最大值为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)=2
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，
又，故.
(Ⅱ)的面积==,故=4，
而故=8，解得=2
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用代入法，结合焦点的坐标、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、弦长公式、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
依题意：，解得，，
∴椭圆E的方程为；
【小问2详解】
当直线l的斜率存在时，设，，
由得
由得．由，得

当且仅当，即时等号成立
当直线l的斜率不存在时，，
∴的最大值为
19、（1）
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知可得出，求出的值，即可得解；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、，
则，，
，则，解得，故.
【小问2详解】
解：，则，又、、，
所以，，，
设为平面的法向量，则，取，可得，
显然，为平面的一个法向量，
，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
20、（1）
（2）①证明见解析；②直线过定点；
【解析】（1）依题意得到方程组，解得，即可求出椭圆方程；
（2）①由（1）可得，，设，，表示出直线的方程，即可求出点坐标，从而得到、，即可求出；
②在直线方程中令，即可得到的坐标，再求出直线的斜率，即可得到直线的方程，从而求出定点坐标；
【小问1详解】
解：依题意可得，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆方程为
【小问2详解】
解：①由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令则，所以，，所以，又点在椭圆上，所以，即，所以，即为定值；
②因为直线的方程为，令则，因为，所以，所以直线的方程为，即又，所以，令，解得，所以直线过定点；
21、（1）略（2）
【解析】（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，
②-①得.
试题解析：（1）∵， ，又∵，∴，
，∴则是为首项为公差的等差数列；
由（1）得 ，∴，
∴①，
①得：②，
②-①得.
考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.
22、（1）（2）
【解析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;
(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.
【详解】(1),则,
因为在处取得极值,
所以,解得,
经检验,当时,在处取得极值;
(2)因为在上单调递减,
所以对恒成立,
则对恒成立,
∵当时,,
∴,即a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参,需要学生对相关基础知识牢固掌握且灵活运用.