天津市大良中学 2025-2026学年数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

天津市大良中学 2025-2026学年数学高二上期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．倾斜角为120°，在x轴上截距为－1的直线方程是（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
2．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（ ）
A.24 B.36
C.48 D.60
3．过点且与直线垂直的直线方程是（）
A. B.
C. D.
4．下列数列中成等差数列的是（）
A. B.
C. D.
5．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）
A B.
C. D.6
6．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）
A.当时，曲线C为圆
B.“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的充分而不必要条件
C.“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件
D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
7．为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的值是( )
A. B.
C. D.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是
A. B.
C. D.
11．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）
A.2022年1月8日 B.2022年1月9日
C.2022年1月10日 D.2022年1月11日
12．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过抛物线的准线上任意一点做抛物线的切线，切点分别为，则A点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值为___________
14．已知函数满足：①是奇函数；②当时，．写出一个满足条件的函数________
15．已知空间向量， 则向量在坐标平面上的投影向量是__________
16．函数在处的切线方程为_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求
18．（12分）已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求的值
19．（12分）已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，，求：
（1）Sn；
（2）若S3、、Sk成等比数列，求k
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
21．（12分）有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.

（1）求图中a的值；
（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.
22．（10分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由倾斜角求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式
【详解】由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.
又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－ (x＋1)，即x＋y＋＝0.
故选：D.
【点睛】本题考查直线方程的斜截式，属于基础题
2、A
【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.
【详解】由题意知，.
根据椭圆定义可知，是直角三角形，.
故选：A.
3、C
【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.
【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，
所求直线的方程为，即，
故选：C
4、C
【解析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答.
【详解】对于A，，A不是等差数列；
对于B，，B不是等差数列；
对于C，，C是等差数列；
对于D，，D不是等差数列.
故选：C
5、C
【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
6、C
【解析】根据椭圆、双曲线的定义及简单几何性质计算可得；
【详解】解：由题意，曲线C的方程为，
对于A中，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示椭圆，所以A错误；
对于B中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的双曲线时，则满足，解得，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以B不正确；
对于C中，当曲线C的方程为表示焦点在x轴上的椭圆时，则满足，解得，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D中，当曲线C的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.
故选：C.
7、D
【解析】表示出和，直接判断即可.
【详解】命题为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题为“甲核酸检测结果不是阴性”；
命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题为“乙核酸检测结果不是阴性”.
故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为.
故选D.
8、B
【解析】根据等差数列和等比数列下标和的性质即可求解.
【详解】为等比数列，，
，，；
为等差数列，，
，，，
∴.
故选：B.
9、A
【解析】根据题意得，取线段的中点，则根据题意得，，根据椭圆的定义可知，然后解出离心率的值.
【详解】因为为正三角形，所以，取线段的中点，连结，则，所以，得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.

【点睛】求解离心率及其范围的问题时，解题的关键在于画出图形，根据题目中的几何条件列出关于，，的齐次式，然后得到关于离心率的方程或不等式求解
10、A
【解析】
由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则
，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A
考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划
11、B
【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.
【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.
则
40小时=2400分钟，令，得或（舍去），
故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.
故选：B
12、C
【解析】先计算从金、木、水、火、土五种元素中任取两种的所有基本事件数，再计算其中两种元素恰是相生关系的基本事件数，利用古典概型概率公式，即得解
【详解】由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10个基本事件，其中两种元素恰是相生关系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5个基本事件，所以所求概率.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】设，，，，由可得，根据导数的几何意义求得两切线的方程，联立求得点的坐标，再根到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值
【详解】解：设，，，，由可得，所以，
所以直线，的方程分别为：，，
联立，解得，
即，，又有在准线上，所以，
所以，
设直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，可得，
所以可得，即直线恒过点，即直线恒过焦点，
即直的方程为：，代入抛物线的方程：，
，所以，
点到准线的距离与点到准线的距离之和，
所以当时，距离之和最小且为8，这时直线平行于轴
故答案为：8
14、（答案不唯一）
【解析】利用函数的奇偶性及其单调性写出函数解析式即可.
【详解】结合幂函数的性质可知是奇函数，当时，，则符合上述两个条件，
故答案为：（答案不唯一）.
15、
【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.
故答案为：
16、
【解析】求得函数的导数，得到且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，则且，
所以函数在处的切线方程为，即，
即切线方程为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
考点：1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程
（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值
【小问1详解】
解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为

所以，即，
又因为c=2，所以，
又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
所以该椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：
因为，所以，即，
又，所以，即.
19、（1）Sn=n2
（2）11
【解析】(1)由等差数列前n项和公式与下标和性质先求，然后结合可解；
(2)由(1)中结论和已知列方程可解.
【小问1详解】
由，解得，
又∵，∴，，
∴
【小问2详解】
∵S3，S17–S16，Sk成等比数列，
∴S3Sk=( S17–S16)2=，即9k2=332，
解得：k=11
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；
（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值
【详解】（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长方法，
(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)
(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解
21、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.
【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中的值；
（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；
（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
图中的值为0.040
（2）竞赛分数不少于70分的频率为：，
估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，
估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：

【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
22、
【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.
【详解】由抛物线可得：
设
①
在上，将①代入可得：
，即 .
【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.