2025-2026学年黑龙江伊春市第二中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025-2026学年黑龙江伊春市第二中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n =（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
2．若，，则有（）
A. B.
C. D.
3．设满足则的最大值为
A. B.2
C.4 D.16
4．已知命题：抛物线的焦点坐标为；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
5．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
6． “”是直线与直线平行的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
8．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B.
C.1 D.2
10．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）
A B.
C. D.
12．函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．半径为的球的表面积为_______
14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
15．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________
16．已知，则曲线在点处的切线方程是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
18．（12分）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，O是BC的中点，

（1）证明：平面平面BCD；
（2）若三棱锥的体积为，E是棱AC上的一点，当时，二面角E－BD－C大小为60°，求t的值
19．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由
20．（12分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.

（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.

（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题可得当时，，当时，，即得.
【详解】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，
∴，
故当时，，当时，，
故时，取得最大值
故选：B.
2、D
【解析】对待比较的代数式进行作差，利用不等式基本性质，即可判断大小.
【详解】因为，又，，故，则，即；
因为，又，，故，则；
综上所述：.
故选：D.
3、C
【解析】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4、D
【解析】求出的焦点坐标，及等轴双曲线的离心率，判断出为假命题，q为真命题，进而判断出答案.
【详解】抛物线的焦点坐标为，故命题为假命题；命题：等轴双曲线中，，所以离心率为，故命题q为真命题，所以为真命题，其他选项均为假命题.
故选：D
5、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
6、C
【解析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.
【详解】若，则，，显然平行；
若直线，则且，即.
故“”是直线与直线平行的充要条件.
故选：C
7、A
【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.
【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.
故选：A
8、B
【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；
必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，
所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9、D
【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.

10、B
【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.
【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；
时，不满足选项A；
时，，且，所以不满足选项CD；
故选：B
11、C
【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.
【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有种情况，
取到3块月饼都是五仁月饼有种情况，
所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是.
故选：C.
12、A
【解析】先求定义域，再由导数小于零即可求得函数的单调递减区间.
【详解】由得，所以函数的定义域为，
又 ，
因为，
所以由得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、.
【解析】由球的表面积公式计算
【详解】由题意.
故答案为：
14、504
【解析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果
【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种，
当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故答案为：504
15、 ①. ②.1011
【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.
【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，
所以，所以的范围是，
因为时，仍是数列中的项，
即，且上述的每一项均在数列中，
所以，，，，
即，
所以，所以.
故答案为：；.
16、
【解析】求导，得到，写出切线方程.
【详解】因为，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.
(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，
所以数列的通项公式是：.
【小问2详解】
由(1)知，，，

，
所以数列的前n项和.
18、（1）证明见解析
（2）3
【解析】（1）证得平面BCD，结合面面垂直判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得，进而解方程即可求出结果.
【小问1详解】
因为，O是BC的中点，
所以，又因为，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因为平面ABC，所以平面平面BCD
【小问2详解】
连接OD，又因为是边长为2的等边三角形，
所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO两两互相垂直
以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系

设，则O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，
因为A－BCD的体积为，所以，
解得，即A（0，0，3），
，∵，∴，
设平面BCD的法向量为，,
则，取平面BCD的法向量为，，，
设是平面BDE的法向量，则，
∴取平面BDE的法向量
，解得或（舍）
19、（1），；
（2）过，.
【解析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.
【小问1详解】
设圆E的圆心为，半径为r，
则，，所以
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；
【小问2详解】
设，，直线l的方程为
由得，且，
故又，所以
又，，
所以

，
即．又故或
若，则直线l的方程为，
过点，与题意矛盾，所以，故，
所以直线l的方程为，过点
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
20、（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
（2）
【解析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；
（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案
【小问1详解】
当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
【小问2详解】
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式可求得结果
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，因为AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
【小问2详解】
过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
则，
所以
设
因为平面，所以
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为，
所以，解得，
所以，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，
所以，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为

22、（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.
【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.
【详解】（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，所以.
所以

即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，

，
即定值.