2025-2026学年江苏省常州市14校联盟高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省常州市14校联盟高二数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B.5
C. D.7
2．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（）
A. B.
C. D.
3．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
4．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）
A. B.
C. D.
5．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神.从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的（）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知p：，q：，那么p是q的（）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是
A.若α≠，则tanα≠1 B.若α=，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠ D.若tanα≠1，则α=
8．已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）

A. B.的最小正周期为6
C.图象关于直线对称 D.在上单调递减
11．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.6 B.8
C.9 D.10
12．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为___________.
14．设是数列的前项和，且，则_____________.
15．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______
16．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，则两点间的距离为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离.
18．（12分）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线y＝kx＋b为和的“隔离直线”.已知函数，.
（1）证明函数在内单调递增；
（2）证明和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.
19．（12分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程
20．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.
21．（12分）在等差数列中，，前10项和
（1）求列通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前8项和
22．（10分）设函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极小值点和极大值点.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以方程的根为，
所以，得，
所以，
故选：D
2、A
【解析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.
【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，
即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，
因此恰有1次命中的概率为，
故选：A.
3、D
【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题知是等腰直角三角形，且，
，
又，，即，
，，即，
解得，
，.
故选：D.
4、D
【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】圆的圆心为原点，由于且，
所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.
5、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：设为不到长城，推出非好汉，即，
则，即好汉到长城，
故“好汉”是“到长城”的充分条件，
故选：A
6、C
【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立, p是q充分不必要条件.
【详解】因为>0,<1,
所以若p：成立，一定成立,
但q：成立，p：不一定成立,
所以p是q的充分不必要条件.
故选：C.
7、C
【解析】因为“若，则 ”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.
【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.
8、B
【解析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.
【详解】不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解
令，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取最大值，
当时，恒成立，的草图如下：

，，则
若只有一个整数解，则，即
故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是
故选：B
9、C
【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.
【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程
故选：C.
10、D
【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质
结合周期公式逆推即可求解.
【详解】因为函数的图象与轴交于点，
所以，又，所以，A正确；
因为的图象与轴的一个交点为，即，
所以，又，解得，
所以，所以，
求得最小正周期为，B正确；
，所以是的一条对称轴，C正确；
令，解得，
所以函数在，上单调递减，D错误
故选：D.
11、A
【解析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.
故选：A.
12、C
【解析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.
【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】利用双曲线的渐近线的倾斜角，求解，关系，然后求解离心率，即可求解.
【详解】双曲线一条渐近线的倾斜角为，
可得，所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：2.
14、
【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15、
【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.
【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.
故答案为：.
16、.
【解析】取BE的中点G，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最后通过勾股定理求得答案.
【详解】如图，取BE的中点G，连接AG,CG，由题意，则是二面角的平面角，则，又，则是正三角形，于是.

根据可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，则平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，则，所以，，
因为平面，所以，平面，
，所以，直线到平面的距离为.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）由导数得出在上的单调性；
（2）设和之间的隔离直线为y＝kx＋b，由题设条件得出对任意恒成立，再由二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，
当时，在上单调递增
在内单调递增
【小问2详解】
设和之间的隔离直线为y＝kx＋b
则对任意恒成立，即对任意恒成立
由对任意恒成立，得
当时，则有符合题意；
当时，则有对任意恒成立
的对称轴为
又的对称轴为
即

故和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.
【点睛】关键点睛：在解决问题一时，求了一阶导得不了函数的单调性，再次求导得，进而得出在恒成立，得在上的单调性.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由焦距为解出，再把点代入椭圆方程中，即可解出答案.
（2）根据题意求出当直线与轴重合时，由求出值，即求出的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使，设出直线方程与椭圆进行联立，化简得证，即可得到答案.
【小问1详解】
.
由于点在椭圆C上，则

故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线与轴重合时，是椭圆的左右顶点，不妨设，设，
则

是上的任意一点，即方程对任意实数都成立，

此时的方程为.
故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使即可，
设直线的方程为，，设
则
由

得证.
故的方程为.
20、（1）动点的轨迹的方程为；
（2）的取值范围.
【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.
【小问1详解】
由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
【小问2详解】

故
即.
设：，
联立
（*），，
∴ ，，
又
则：
即

若，则过，不符合题意
故，∴
，
故

21、（1）；（2）347.
【解析】（1）设等差数列的公差为，解方程组即得解；
（2）先求出，再分组求和得解.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
则
解得所以
（2）由题意，，所以
所以的前8项和为
22、（1）；
（2）极大值点，极小值点.
【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可
【小问1详解】
函数，函数的导数为
，，
在处的切线方程：，即
【小问2详解】
令，，解得，
当时，可得，即的单调递减区间，
或，可得，∴函数单调递增区间，，
的极大值点，极小值点