2025-2026学年四川省成都市七中数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年四川省成都市七中数学高二上期末综合测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为，瓶口直径为，瓶高为，则该双曲线的虚轴长为（）

A. B.
C. D.45
2．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）
A.4 B.2
C. D.
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)
A. B.
C.3 D.2
4．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A 4尺 B.8.5尺
C.16.1尺 D.18.1尺
5．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知，，，若，，共面，则λ等于（）
A. B.3
C. D.9
7．已知a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若a∥α，a∥b，则b∥α B.若a∥α，a∥β，则α∥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
8．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
9．如果，，…，是抛物线C：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，点F是抛物线C的焦点.若=10，=10+n，则p等于（ ）
A.2 B.
C. D.4
10．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
12．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则________.
14．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______
15．已知函数，则f（e）＝__.
16．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值
18．（12分）已知平面内两点，，动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标
19．（12分）如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证：

（1）平面；
（2）平面平面.
20．（12分）已知等比数列前3项和为
（1）求的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求m的取值范围
21．（12分）已知圆的圆心为，且圆经过点
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆：与圆恰有两条公切线，求实数的取值范围
22．（10分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.

（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；
（2）试求游乐园面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设双曲线方程为，，由已知可得，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解，即可得到双曲线的虚轴长
【详解】设点是双曲线与截面的一个交点，
设双曲线的方程为：，
花瓶的最小直径，则，
由瓶口直径为，瓶高为，可得，
故，解得，
该双曲线的虚轴长为
故选：
2、B
【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意可知、，
又且，
所以，，，，
则，
且，
即，即，
所以离心率.
故选：B
3、C
【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.
【详解】如图所示：
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，
所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.
4、C
【解析】设等差数列，用基本量代换列方程组，即可求解.
【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，
则有，即，解得：，
即冬至的日影长为16.1尺.
故选：C
5、D
【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径
【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是
故选：D
6、C
【解析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值
【详解】∵，，共面，
∴设(实数m、n)，
即，
∴，解得
故选：C
7、D
【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，直线有可能平面内，故A选项错误.
对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.
对于C选项，可能相交，故C选项错误.
根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.
故选:D.
8、A
【解析】由公理2的推论即可得到答案.
【详解】由公理2的推论:
过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,
可得在同一平面,
故充分条件成立;
由公理2的推论：
过两条平行直线,有且只有一个平面,
可得,
当时,
同一个平面上,
但中无三点共线,
故必要条件不成立;
故选:A
【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;
公理2的三个推论：
经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;
经过两条平行直线,有且只有一个平面;
经过两条相交直线,有且只有一个平面;
9、A
【解析】根据抛物线定义得个等式，相加后，利用已知条件可得结果.
【详解】抛物线C：的准线为，
根据抛物线的定义可知，，，，，
所以，
所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题.
10、B
【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.
【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；
时，不满足选项A；
时，，且，所以不满足选项CD；
故选：B
11、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
12、D
【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.
【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；
对于命题，若，取，，则，命题为假命题.
所以，、、均为假命题，为真命题.
故选：D.
【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出导函数，确定导函数奇函数，然后可求值
【详解】由已知，它是奇函数，∴
故答案为：
【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，确定函数的奇偶性是解题关键
14、16
【解析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.
【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16
故答案为：16
15、
【解析】由导数得出，再求.
【详解】∵，
∴，
，
解得，
，
，
故答案为：.
16、29
【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.
【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，
所以第四位的编号是.
故答案为：29

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；
(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.
【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，
故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，，则，
所以，，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，
因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
18、（1）
（2）证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）直接由斜率关系计算得到；
（2）设出直线，联立椭圆方程，韦达定理求出，再结合三点共线，求出参数，得到过定点.
小问1详解】
设动点，由已知有，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，
设直线方程为，，，则，
由，可得，
则，即为，
，，
因为直线过定点，所以三点共线，即，即，
即，即，
即得，
整理，得，满足，
则直线方程为，恒过定点.
【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或得到两个参数之间的关系，即可求出定点.
19、证明见解析
【解析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】（1）如图，连接.
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接，，
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是中点，∴.
∵平面平面，
∴平面.
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式；
（2）由题意转化为求数列的前项和的最大值，即可求参数的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，则，①
，
即，
得，即，
代入①得，解得：，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，数列是首项为2，公比为的等比数列，
，
若对任意恒成立，即，
数列，,单调递增,的最大值无限趋近于4，
所以
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出圆C的半径，再直接写出方程作答.
(2)由给定条件可得圆C与圆O相交，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，圆C的半径，
所以圆的标准方程是：.
【小问2详解】
圆：的圆心，半径为，
因圆与圆恰有两条公切线，则有圆O与圆C相交，即，而，
因此有，解得，
所以实数的取值范围是.
22、（1）
（2）
【解析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；
（2）利用导数求函数的最值即可.
【小问1详解】
以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，
设抛物线的方程为，将点代入方程可得，
解得，则抛物线方程为，
由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，
则，
【小问2详解】
，令，解得，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
因此函数时，有最大值，