2026届北京西城3中高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2026届北京西城3中高二数学第一学期期末检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
3．已知下列四个命题，其中正确的是（）
A. B.
C. D.
4．数列中，，，若，则（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
5．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B.
C. D.
8．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）
A.32 B.16
C.8 D.4
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A.3 B.1
C.0 D.﹣1
10．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）
A. B.
C. D.
11．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（ ）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A.148 B.116
C.222 D.325
12．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.
A.6 B.5
C.4和6 D.5和7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.

①甲比乙的极差大；
②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的大；
④乙的众数是21.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2020>0，S2021<0，则当n=_____________时，Sn最大.
15．某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达的概率分别为假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为___________.
16．已知椭圆，分别是椭圆的上、下顶点，是左顶点，为左焦点，直线与相交于点，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在等差数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前n项和为，且，，求数列的前n项和
18．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点(4，0)的直线l交椭圆C于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程.
19．（12分）△ABC的三个顶点分别为
（1）求△ABC的外接圆M的方程；
（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值
20．（12分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由
21．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值
22．（10分）在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.
【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故
故选：A
2、A
【解析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
则排除选项、,
当时，，
则在上单调递减，且，，
由零点存在定理可知在上存在一个零点，则排除，
故选：.
3、B
【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
4、C
【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.
【详解】∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
∴，
∴，则，解得.
故选：C.
5、B
【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值
【详解】函数定义域是，
有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根
设，则，
时，，递减，时，，递增，
极小值＝，而时，，时，，
所以
故选：B
6、D
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D
考点：利用导数研究函数的单调性.
7、A
【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
8、B
【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案
【详解】解：由得，
由题意得，
所以的周长等于，
故选：B
9、C
【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解
【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值

故选：C

10、A
【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.
【详解】因为，所以，
则
故复数的虚部为.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.
11、A
【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：A.
12、A
【解析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.
【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，
易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①③④
【解析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断
【详解】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；
乙中位数是，②错；
甲平均数是：，
乙的平均数为：16.9，③正确；
乙的众数是21，④正确
故答案为：①③④
14、1010
【解析】先由S2020>0，S2021<0，判断出，，即可得到答案.
【详解】等差数列{an}的前n项和为，所以，因为1+2020=1010+1011，所以，所以.
，
所以，
所以当n=1010时，Sn最大.
故答案为：1010.
15、
【解析】考虑3门或者2门两种情况，计算概率得到答案.
【详解】.
故答案为：.
16、##
【解析】先求出顶点和焦点坐标，求出直线直线与的斜率，利用到角公式求出的正切值，进而求出正弦值.
【详解】由可得：，所以，，，，故，由到角公式得：，其中，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.
(2)由已知条件求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.
【小问1详解】
等差数列中，，解得，则公差，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
的前n项和为，，，则当时，，
于是得，即，而，
即，，因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
由(1)知，，
则，
因此，
，
，
所以数列的前n项和.
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）由条件得，再结合，可求得椭圆方程；
（2）由题意设直线l：x=my+4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系的关系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，从而可列出关于的方程，进而可求出的值，即可得到直线的方程
【详解】（1）由条件知，解得，则
故椭圆的方程为
（2）显然直线l的斜率存在，且斜率不为0，设直线l：x=my+4交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由，
当=(24m)2-4(3m2+4)×36>0时，有，，
由条件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，
从而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，
，解得，故且满足>0
从而直线l方程为或
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）设出圆的一般方程，根据的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程；
（2）根据（1）中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.
【小问1详解】
设圆M的方程为，因为都在圆上，
则，解得，
故圆M的方程为，也即.
【小问2详解】
由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，
点M到直线的距离
故.
20、（1）；
（2）是定值，.
【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；
(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值
【小问1详解】

由题意知，
，
根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，
曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意知直线的方程为且m≠0)，
设直线与椭圆的交点为，，，，
由得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，为．
21、（1）；
（2）证明见解析，定值为-1.
【解析】(1)根据给定条件探求出，再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.
(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0，写出直线的方程，再联立轨迹C的方程，借助韦达定理计算作答.
【小问1详解】
圆：的圆心，半径为8，
因A是圆上一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，
于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，
长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，
所以P点的轨迹C的方程是.
【小问2详解】
因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，
又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，
直线的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
，即，则有且，
设，则，
直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，
，
所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理可证明BG//EF，由线线平行，可得线面平行；
（2根据图像可得，以为底面，证明为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;
【小问1详解】
取的中点，因为为的中点，
所以且，
又因为为的中点，四边形为菱形，
所以且，
所以且，
故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，
因为面面，所以面.
【小问2详解】
因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，
所以
因为面，所以为三棱锥的高
所以三棱锥的体积.