陕西省韩城市苏山分校2025-2026学年高二上数学期末考试模拟试题含解析.doc

陕西省韩城市苏山分校2025-2026学年高二上数学期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（ ）
A.2 B.6
C.8 D.10
2．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（）
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
3．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
4．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
5．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
6．已知圆与圆外切，则（）
A. B.
C. D.
7．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）

A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
B.前七个矩形块中所填写的数字之和等于
C.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
D.按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是
8．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）
A. B.
C. D.
9．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
10．等差数列中，若，，则等于（）
A. B.
C. D.
11．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.函数在上是增函数
B.函数在上是减函数
C.是函数的极小值点
D.是函数的极大值点
12．抛物线的焦点是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线在点处的切线方程是，则的值为______
14．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______
15．已知数列的前项和为，，则___________，___________.
16．已知直线与直线平行，则实数______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：的长轴长为，P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为PA的中点，且直线PA与直线OQ的斜率之积恒为-2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k且过上焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当点M，N到y轴距离之和最大时，求直线l的方程.
18．（12分）已知圆与直线
（1）若，直线与圆相交与，求弦长
（2）若直线与圆无公共点求的取值范围
19．（12分）已知椭圆的右焦点是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相切，且交圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线方程.
20．（12分）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列.
（1）求的通项公式：
（2）在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及.
21．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
22．（10分）已知空间中三点，，，设，
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.
【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，
所以，
，
又或，
或（舍去），
故选：C
2、A
【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.
【详解】设利润为y万元，则，
∴.
令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.
故选：A
【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值
(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到
3、A
【解析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.
【详解】由题意有，得，
又由，得，
解得，，有
故选：A.
4、A
【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.
【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，

因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，
于是得，即点，因此，，解得，
所以双曲线C的离心率为.
故选：A
5、C
【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.
【详解】由已知得，
设点，由轴，
则，代入双曲线方程可得，
即，
又，所以，
即，
整理可得，
故，
解得或（舍），
故选：C.
6、D
【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.
【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：，可得.
故选：D.
7、B
【解析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.
【详解】设每个矩形块中的数字从大到小形成数列，则可得是首项为，公比为的等比数列，，
所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故A错误；
前七个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；
矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误；
按照这个规律继续下去，第个矩形块中所填数字是，故D错误.
故选：B.
8、B
【解析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率
【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，
基本事件总数，
和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，
和至少有一辆与和车相邻的概率：
故选：B
9、D
【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.
故选：D.
10、C
【解析】由等差数列下标和性质可得.
【详解】因为，，所以.
故选：C
11、A
【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；
是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误
故选：A
12、D
【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.
【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、11
【解析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.
【详解】因曲线在点处的切线方程是，则，，
所以.
故答案为：11
14、 ① ； ②..
【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.
【详解】如示意图1，

设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.
如示意图2，易得：，，所以，所以.

设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：
，即.
故答案为：；.
15、 ①. ②.
【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；
第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.
【详解】，可得
由，可知时，
故时
即可化为
又故数列是首项为公比为2的等比数列，

故数列的通项公式
故答案为：①；②
16、
【解析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.
【详解】当时，直线与直线垂直；
当时，，则且，解得.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设点，求出直线、直线的斜率相乘可得，
结合可得答案；
（2）设直线l的方程为与椭圆方程联立，代入得 ，
设，再利用基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，，即，则，
设点，
∵Q为的中点，∴，
∴直线斜率，直线的斜率，
∴，
又∵，
∴，则，解得，
∴椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，设直线l的方程为，
联立化简得，
，设，
则，
易知M，N到y轴的距离之和为，

，
设，
∴，当且仅当即时等号成立，
所以当时取得最大值，
此时直线l的方程为.
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；
（2）由圆心到直线的距离大于半径列式求解的范围
【详解】解：（1）圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，
弦长
（2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径

解得或
19、（1）；（2），.
【解析】（1）由的最小值为1，得到，再由， 结合，求得的值，即可求得椭圆的方程.
（2）设切线的方程为，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意，点椭圆上的一动点，且的最小值是1，得，
因为当垂直长轴时，可得，所以，即，
又由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知切线的斜率一定存在，否则不能形成，
设切线的方程为，
联立，整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简得，则，
因为点到直线的距离，
所以，即，
故的面积为，
因为，可得，即，函数在上单调递增，
所以，当时取等号，
则，即面积的最大值为.
当时，此时，所以直线的方程为.
【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：
1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；
2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.
20、（1）；
（2），.
【解析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为成等差数列，
所以有，
因成等比数列，
所以，
所以；
【小问2详解】
由题意可知：在和之间插入个，
在和之间插入个，，
在和之间插入个，
此时共插入的个数为：，
在和之间插入个，
此时共插入的个数为：，
因此
.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；
（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设的公差为，
由已知得，解得，
所以.
【小问2详解】

所以.
22、（1）；（2）或.
【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；
（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.
【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)
（1）cosθ＝，
所以和的夹角余弦值为.
（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，
则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.