2025年鞍山市重点中学高二上数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025年鞍山市重点中学高二上数学期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数，若实数是函数的零点，且，则（）
A. B.
C. D.无法确定
2．经过两点直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
3．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ）
A.30尺 B.40尺
C.6尺 D.60尺
4．变量，之间有如下对应数据：

3
4
5
6
7

13
11
10
8
7
已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）
A.2.3 B.2.5
C.17.1 D.17.3
5．等比数列满足，，则（）
A.11 B.
C.9 D.
6．已知直线、的方向向量分别为、，若，则等于（ ）
A.1 B.2
C.0 D.3
7．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是

A.
B.平面平面
C.的最大值为
D.的最小值为
8．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）
A.里 B.里
C.里 D.里
9．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
10．过双曲线Ω：(a＞0，b＞0)右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,3) B.(3，＋∞)
C.(1,) D.(，＋∞)
11．在复平面内，复数对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在学习《曲线与方程》的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：
甲：曲线关于对称；
乙：曲线关于原点对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）
14．函数满足，且，则的最小值为___________.
15．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________
16．求值______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形为矩形，，且平面平面.

（1）若，分别是，的中点，求证：平面；
（2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度.
19．（12分）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切
（1）求圆的方程；
（2）圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知抛物线与直线相切.
（1）求该抛物线的方程；
（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
21．（12分）已知二次函数，令，解得.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
22．（10分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用函数在递减求解.
【详解】因为函数在递减，
又实数是函数的零点，即，
又因为，
所以，
故选：A
2、B
【解析】求出直线的斜率后可得倾斜角
【详解】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故选：B
3、A
【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.
【详解】由题女子织布数成等差数列，设第日织布为，有，所以
，
故选:A.
4、D
【解析】将样本中心点代入回归方程后求解
【详解】，，将样本中心点代入回归方程，
得
故选：D
5、B
【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.
【详解】由数列是等比数列，得：，
故选：B
6、C
【解析】由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】若，则，所以，所以，解得.
故选：C
7、C
【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，
∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；
当 时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，
即，∴D正确，故选C

考点：立体几何中的动态问题
【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离
8、C
【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解
【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，
故选：C
9、A
【解析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.
【详解】对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
10、B
【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，从而可解得离心率的范围.
【详解】F(c,0)，设M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，
由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，
即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.
答案：B
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
11、D
【解析】根据复数在复平面内的坐标表示可得答案.
【详解】解：由题意得：

在复平面上对应的点为，该点在第四象限.
故选：D
12、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、甲、乙、丙、丁
【解析】结合对称性判断甲、乙的正确性；通过对比和与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断丙丁的正确性.
【详解】对于甲：交换方程中和的位置得，所以曲线关于对称，甲回答正确.
对于乙：和两个点都满足方程，所以曲线关于原点对称，乙回答正确.
对于丙：直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，
，，
在第一象限，直线与曲线都满足，
，
，
所以在第一象限，直线的图象在曲线的图象上方，
所以，丙回答正确.
对于丁：圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，
在第一象限，曲线与曲线都满足，
，
，
，
所以在第一象限，曲线的图象在曲线的图象下方，
所以，丁回答正确.
故答案为：甲、乙、丙、丁
14、6
【解析】化简得出，由化简后根据均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.
【详解】，
由得：，（当且仅当时取等号），
所以的最小值为6.
故答案为：6
15、##
【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出
【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以， ，即
故答案为：
16、
【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.
【详解】
将代入变形后的式子得到结果为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）通过构造平行四边形，在平面中找到即可证明
（2）建立直角坐标系，通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值
【小问1详解】
证明：设为的中点，连接，，

因为，分别为，的中点.
所以且，
又，为的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，，则，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵是等边三角形，为中点，∴，
分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，.
设为平面的一个法向量，
则有
即
取可取，
设为平面的一个法向量，则有
即
可取，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，
∴，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18、（1）
（2）16
【解析】（1）设抛物线的标准方程为：，再代入求解即可.
（2）根据焦点弦公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上，
所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：，
代入点的坐标得：，解得
则抛物线的标准方程为：.
【小问2详解】
焦点，则直线的方程是，设，，
由得，，
所以，则，故.
19、（1）
（2）存在，或
【解析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；
（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.
【小问1详解】
解：因为圆与轴的交点分别为，，
所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，
又圆与直线，都相切，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
解：假设圆上存在点满足，
则，即①，
又，即②，
联立①②可得或，
所以存在点或满足.
20、 (1) ；(2) .
【解析】（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.
(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.
试题解析：(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.
(2) 假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，，当时，为定值，所以.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的两个根，根据根与系数之间的关系，即可求，；
（2）根据题意，得出不等式恒成立，则，解不等式即可求出实数的范围.
详解】解：（1）由题可知，，解得：，
则-3，2是方程的两个根，且，
所以由根与系数之间的关系得，解得，
所以二次函数的解析式为：；
（2）由于不等式恒成立，即恒成立，
则，解得：，
所以实数的范围为.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求函数解析式，以及不等式恒成立问题求参数范围，考查根与系数的关系和一元二次函数的图象和性质，考查化简运算能力
22、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.
【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.
【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，
由题意得：，则 ，表面积
造价，，
令，得，令，得，
的单调递减区间为，递增区间为，
当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.