2026届江苏省吴江市青云中学数学高二第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届江苏省吴江市青云中学数学高二第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）

A.2 B.3
C.4 D.5
2．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（）
A.或11 B.或10
C.或12 D.或11
3．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，因此得到1000个点对，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）

A.0.70 B.1.04
C.1.86 D.1.92
4．在等比数列中，，则的公比为（）
A. B.
C. D.
5．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
6．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7．设等比数列的前项和为，若，，则（）
A.66 B.65
C.64 D.63
8．如果命题为真命题，为假命题，那么（）
A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题
C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题
9．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）
A. B.
C. D.
10．已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
12．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线的方程为，则的外接圆方程为______.
14．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B.椭圆上存在点，使得
C.椭圆的离心率为
D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
15．设，，若将函数的图像向左平移个单位能使其图像与原图像重合，则正实数的最小值为___________.
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2014年至2020年学生的人均月支出y(单位：百元)的数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均月支出y
3.9
4.3
4.6
5.4
5.8
6.2
6.9
（1）求2014年至2020年中连续的两年里，两年人均月支出都超过4百元的概率；
（2）求y关于t的线性回归方程；
（3）利用（2）中的回归方程，预测该校2022年的人均月支出.
附：最小二乘估计公式：，
18．（12分）已知数列满足
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.
20．（12分）（1）已知双曲线的离心率为2，求E的渐近线方程；
（2）已知F是抛物线的焦点，是C上一点，且，求C的方程.
21．（12分）已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，

（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.

2、A
【解析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，
所以，或，
故选：A
3、D
【解析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.
【详解】易知，
根据几何概型的概率公式，得，所以.
故选：D.
4、D
【解析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.
【详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，
因，所以，所以,
故选：D.
5、C
【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.
【详解】设，，,
依题意得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，
当位于圆的最高点时的面积最大，所以 ,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小，所以,
解得,
故双曲线的离心率为.
故选: C.
6、D
【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，
所以可设双曲线的方程为，
则，，
所以该双曲线方程为.
故选：D.
7、B
【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.
【详解】解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
8、D
【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.
【详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，
为假命题,说明二者至少有一个为假命题，
综合上述，可知命题，只有一个是真命题，
故选：D
9、B
【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.
【详解】由得，即，
所以使x满足的概率为
故选：B.
10、D
【解析】根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】圆的圆心坐标为：，半径，
由圆的割线定理可知：，显然有，或，
因为，所以，
于是有，
因为，
所以，而，或，
所以，
故选：D
11、C
【解析】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
12、D
【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，
因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
，因此以为直径的圆的标准方程为：
，而圆：，
得：，即为直线的方程，
由
，所以直线经过定点，
故选：D
【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出线段的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出的外接圆方程.
【详解】直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，
则线段垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即的外心为，
所以，的外接圆的半径为，
因此，的外接圆方程为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式
14、ABD
【解析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.
【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD
15、
【解析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.
【详解】解：由题意得：
函数的图像向左平移个单位后得：

该函数与原函数图像重合故
可知，即
故当时，最小正实数.
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.
【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.
因为，
所以
因为点P 在圆上，故
所以，故的最小值为.
故答案为：，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；
（3）7.8百元.
【解析】（1）应用列举法，结合古典概型计算公式进行进行求解即可；
（2）根据题中所给的公式进行计算求解即可；
（3）根据（2）的结论，利用代入法进行求解即可.
【小问1详解】
2014年至2020年中连续的两年有、、、、、共6种组合，其中只有不满足连续两年人均月支出都超过4百元，所以连续两年人均月支出都超过4百元的概率为；
【小问2详解】
由已知数据分别求出公式中的量.
，
，
，
，
所求回归方程为；
小问3详解】
由（2）知，，
将2022年的年份代号代入（2）中的回归方程，得，
故预测该校2022年人均月支出为7.8百元.
18、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
解：数列满足
，
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即；
∴
【小问2详解】
解：，
，
，
，

19、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.
（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为，
圆C的圆心在直线上，.
则圆C的方程为，
圆C过点，则，解得：则，
圆C的圆心坐标为.
则圆C的方程为；
【小问2详解】

圆心C到直线的距离.
则，解得或
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由可知，即可求出，故可得渐近线方程；
（2）利用点在抛物线上及其抛物线的定义列方程求解即可.
【详解】（1）∵E的离心率，
∴，即，解得，
故E的渐近线方程为.
（2）∵是C上一点，∴①，
由抛物线的定义可知②，
两式联立可得，解得
则C的方程为.
21、（1），；
（2）.
【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；
(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
.
22、（1）见解析（2）
【解析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可
小问1详解】
证明：如图，连接，
在中，由，可得，
因为，，
所以，，
因为，，，
则，
故，
因为，，，平面，
则平面；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，
则，，，
又，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设平面的法向量为，
因为，
所以，令，则，，
故，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为