辽宁省凌源市联合校2025-2026学年数学高二上期末考试试题含解析.doc

辽宁省凌源市联合校2025-2026学年数学高二上期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（　　）
A B.
C. D.
2．经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（）
A. B.
C. D.
3．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）
A.076 B.122
C.390 D.522
4．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
6．已知满约束条件，则的最大值为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
7．已知，则的最小值是（）
A.3 B.8
C.12 D.20
8．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（ ）
A.36 B.24
C.12 D.6
9．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，则a2021+b2020=（）
A.-1 B.0
C.1 D.2
10．已知，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
11．若圆的半径为，则实数（）
A. B.-1
C.1 D.
12．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b= 238，则输出的a的值为（）

A.17 B.34
C.36 D.68
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列中，.若为等差数列，则______ .
14．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________.
15．曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.
16．若满足约束条件，则的最大值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.
（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；
（2）求的长.
18．（12分）数列中，，且.
（1）证明；数列是等比数列.
（2）若，求数列的前n项和.
19．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．（12分）我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图

（1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；
（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：
等级
一级
二级
三级
四级
售价（万元/吨）

若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由
21．（12分）已如椭圆C：＝1（a＞b＞0）的有顶点为M（2，0），且离心率e＝，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线MA与直线MB的斜率分别为k1，k2，若k1•k2＝，证明：直线AB一定过定点
22．（10分）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点

（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D
2、A
【解析】直接代入点斜式方程求解即可
详解】因为直线经过点且斜率为2，
所以直线的方程为，
即，
故选：
3、B
【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.
【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，
则需要分为组，每组人；
设第组抽取的编号为，故可设，
又第一组抽中号，故可得，解得
故，
当时，.
故选：.
4、B
【解析】根据空间向量基本定理、加法的运算法则，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为是平行六面体，
所以，
所以有：，
因此有：
，
因为，，，，，
所以，
所以，
故选：B
5、A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.
6、B
【解析】作出给定不等式表示的平面区域，再借助几何意义即可求出的最大值.
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，

目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，
作出直线，平移直线到直线，使其过点A时，的纵截距最小，最大，则，
所以的最大值为1.
故选：B
7、A
【解析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
8、C
【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.
【详解】设抛物线方程为：，
因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
所以，
又 P为C的准线上一点，
所以点P到直线AB的距离为p，
所以，解得，
所以，
故选：C
9、A
【解析】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求得和ab=1两种情况下，a，b的取值，分析讨论，即可得答案.
【详解】因为A=B，
若，解得，
当时，不满足互异性，舍去，
当时，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因为A=B，
所以，解得，
所以；
若ab=1，则，
所以，
若，解得或1，都不满足题意，舍去，
若，解得，不满足互异性，舍去，
故选：A
【点睛】本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足互异性、题设条件等，属基础题.
10、A
【解析】由基本不等式直接求解即可得到结果.
【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故选：A.
11、B
【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.
【详解】由题意，圆的方程可化为，
所以半径为，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12、B
【解析】根据程序框图所示代入运行即可.
【详解】初始输入：；
第一次运算：；
第二次运算：；
第三次运算：；
第四次运算：；
结束，输出34.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用等差中项求解即可
【详解】由为等差数列，则，解得
故答案为：
14、【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.
考点：双曲线的定义.
15、
【解析】使用导数运算公式求得切点处的导数值，并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标，进而得到切点坐标，然后利用点斜式求出切线方程即可.
【详解】的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的加法运算，导数的几何意义，和求切线方程，难度不大，关键是正确的使用导数运算公式求得切点处的导数值，
16、7
【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象和直线在轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.
【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
目标函数可化为，
当直线过点点时，此时直线在轴上的截距最大，
此时目标函数取得最大值，
又由，解得，即,
所以目标函数的最大值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.
（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.
【详解】（1）因为曲线（为参数），
所以曲线的普通方程为：.
（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，得.
，.
所以.
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行证明即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
又∵，∴，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，
∴，∴，从而，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知，则，
∴，
∴.
19、（1）；
（2）
【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；
（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.
【小问1详解】
设等差数列{an}公差为d，
由，得
解得
所以(n∈N*)；
【小问2详解】
由（1）可知，
故，
所以

20、（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析
【解析】（1）根据茎叶图计算出数量以及比例.
（2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策.
【详解】（1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为；
得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例
（2）解答一：选用方案2，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨，
则
因为，
所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2
解答二：选用方案1，理由如下：
方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；
设方案2的彩棉售价平均值为
则，
因为，但（万元）差别较小
所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好
21、（I）；（II）证明见解析.
【解析】（I）根据顶点坐标求得，根据离心率求得，由此求得，进而求得椭圆方程.
（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，根据，求得的关系式，由此判断直线过定点.
【详解】（I）由于是椭圆的顶点，所以，由于，所以，所以，所以椭圆方程为.
（II）由于是椭圆上异于点的不同的两点，所以可设直线的方程为，设，由消去并化简得
，所以
，即.
，
，
，

，解得，所以直线的方程为，过定点.
【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题.
22、 (1)证明见解析，(2)
【解析】（1）题中易得，，利用勾股定理可得，从而可证得线面垂直；
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值
【详解】（1）证明：在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，
侧面为等腰直角三角形，，，点E为棱AD的中点
，，，，
，，
，平面ABCD
（2）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，

0，，，0，，，
，，，
设平面PBC的法向量y，，
则，取，得1，，
设直线AB与平面PBC所成角，
直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角．空间角的求法一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求得空间角