西藏自治区拉萨市北京实验中学2025年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

西藏自治区拉萨市北京实验中学2025年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）
A.散点图 B.条形图
C.茎叶图 D.扇形图
2．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种
A.54 B.72
C.96 D.120
3．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（ ）
A. B.
C. D.
4．设a，b，c非零实数，且，则（）
A. B.
C. D.
5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（）
A. B.
C. D.
6．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（）
A.2 B.
C. D.4
7．平行直线：与：之间的距离等于（）
A. B.
C. D.
8．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）
A.1 B.2
C. D.
9．双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（）
A. B.
C. D.
10．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（ ）
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
11．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）
A.10 B.30
C.40 D.46
12．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（）
A.2 B.4
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列满足：，，，则公比______.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________
15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中A点，将，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则四面体的外接球表面积为____________.

16．在等比数列中，已知，则__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的方程为：.
（1）求的值，使圆的周长最小；
（2）过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.
18．（12分）已知集合，，
.
（1）求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程
20．（12分）已知数列的前项和为，并且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：
21．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.

（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求四棱锥的体积.
22．（10分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.

（1）求点到平面的距离；
（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；
【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；
故选：A
2、A
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案
【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A
3、B
【解析】根据正弦定理直接计算可得答案.
【详解】由正弦定理， ,得 ,
故选：B.
4、C
【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；
对于C：利用作差法证明.
【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；
对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；
故选：C.
5、D
【解析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.
【详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，

所以，，又，，则且，
所以为平行四边形，即，又面，面，
所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，
由底面ABCD，面ABCD，即，，，
又，即，，则面，面，即，
而，，，，易知：，
在△中；在△中；在△中；
综上，，故，
又，则.
所以B到平面PCD的距离为.
故选：D
6、B
【解析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.
【详解】因为与的交点坐标为
所以，
当时，，
所以的最大值是，
故选：B.
7、B
【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.
【详解】，则：，即，距离为.
故选：B.
8、C
【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以
，
所以点到圆上点的最小距离为.
故选：C.
9、A
【解析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.
【详解】因为直线的斜率为，
所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以，即，
则双曲线的离心率.
故选：A.
卷II（非选择题
10、A
【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.
【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，
因直线与圆相切，从而得，即，解得或，
所以c的值为8或-2.
故选：A
11、C
【解析】可分为女教师0人，男教师3人和女教师1人，男教师2人两种情况，用组合数表示计算即得解
【详解】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人
若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；
若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；
故女教师最多为1人的选法种数为种
故选：C
12、C
【解析】由焦点坐标得到，求解即可.
【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.
【详解】设等比数列的公式为q，
则，即，
解得，
又，所以，
所以.
故答案为：.
14、
【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：

因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，
因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.
故答案为：.
15、
【解析】由题意在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,则长方体与四面体的外接球相同，从而可求解.
【详解】将直角，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，
所以在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,如图.
则长方体与四面体的外接球相同.
长方体的外接球在其对角线的中点处.
由题意可得，则长方体的外接球的半径为
所以四面体的外接球表面积为
故答案为：

16、32
【解析】根据已知求出公比即可求出答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以.
故答案为：32.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）直线方程为或，切线段长度为4
【解析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.
【小问1详解】
，
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
【小问2详解】
由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
圆心与点的距离，
则切线长度为.
18、 (1).
(2).
【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.
详解：
(1),
.
则
(2)，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以且.
由，得，解得.
经检验，当时，成立，
故实数的取值范围是.
点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；
【小问1详解】
解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；
（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知
【详解】（1） ,①
当 时， ，②
由①—②可得： ,且
数列 是首项为1，公差为2的等差数列，即
（2）由（1）知数列， ,
则 ,①
∴ ,②
由①﹣②得
,
∴ ,.
【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.
21、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；
（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.
证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，

因为，分别为，的中点，
所以且
因为且，
所以， 且，
所以四边形为平行四边形，可得，
因为面，面，所以平面；
（2）过点作于点，
因为平面，面，所以平面面，
因为，面，平面面，
所以面，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以，即为四棱锥的高，
所以.
22、（1）
（2）线段上存在一点，当时，平面.
【解析】（1）设点到平面的距离为，则由 ，由体积法可得答案.
（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.
【小问1详解】
由，，为中点，则
由平面，平面,则
又，且,则平面
又，则平面,且都在平面内
所以
所以,
取的中点，连接，则,所以,所以
所以
所以
则

设点到平面的距离为，则由
即,即
【小问2详解】
线段上是否存在一点，使平面.
由（1）连接,则四边形为平行四边形，则
过点作交于，则
为中点，则为的中点,即
又平面，则平面
过点作交于点，连接，则,即
又平面,所以平面
又，所以平面平面
又 平面,所以平面
所以线段上存在一点，当时，平面.