黑龙江省佳木斯市第一中学2025-2026学年高二上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

黑龙江省佳木斯市第一中学2025-2026学年高二上数学期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等比数列中，，，则（）
A.2 B.4
C.6 D.8
2．已知实数，满足，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
3．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（ ）
A.2 B.
C. D.
4．已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）
A.15 B.16
C.17． D.18
6．若函数，满足且，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（ ）
A. B.
C.14 D.16
8．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（　　）
A. B.
C. D.
9．设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．数列2，，9，，的一个通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
12．方程所表示的曲线为（）
A.射线 B.直线
C.射线或直线 D.无法确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.
15．已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________
16．若过点和的直线与直线平行，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
19．（12分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：
若，且为真，求实数x的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围
20．（12分）数列的前n项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和
21．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.
22．（10分）已知等比数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解
【详解】设公比为，则由，
得，即
故，解得

故选：D
2、A
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，利用直线的斜率公式模型进行求解即可.
【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：

，代数式表示不等式组所表示的平面区域内的点与点连线的斜率，由图象可知：直线的斜率最大，由，即，
即的最大值为：，因此的最大值为，
故选：A
3、C
【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，
由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，
所以是等边三角形，故，因此，
因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：
，由矩形的性质可知：，
由双曲线的定义可知：，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.
4、C
【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即
故选：C
5、A
【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
6、C
【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.
【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
7、C
【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】是函数的两个不同零点，
所以，
由于数列是等比数列，
所以.
故选：C
8、D
【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.
【详解】由题意可知，即，
因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.
故选：D
9、D
【解析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.
【详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，
，且时，，
有两个零点等价于与的图象有两个交点，
画出的图象，如下图所示，

由图可得，时，与的图象有两个交点，
此时，函数有两个零点，
实数m的取值范围是，
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
10、C
【解析】用检验法，由通项公式验证是否符合数列各项，结合排除法可得
【详解】第一项为正数，BD中求出第一项均为负数，排除，
而AC均满足， A中，，排除A，C中满足，，，
故选：C
11、B
【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.
【详解】根据题意，连接，作图如下：

显然为直角三角形，又，
又点在双曲线上，故可得，
解得，
由勾股定理可得：，即，
即，，故双曲线的离心率为.
故选：B.
12、C
【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.
【详解】由得：或，即或，
方程所表示的曲线为射线或直线.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.
【详解】由，，所以底面，
，
故，
体积为.
故答案为：16.
14、或##或
【解析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.
【详解】，且，
设，
，解得，
或.
故答案为：或.
15、2
【解析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义、余弦定理列出方程组，求出mn即可.
【详解】双曲线的a＝2，b＝1，c＝，
不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则，①
由余弦定理可得，②
联立①②可得
故答案为：2
16、
【解析】根据两直线的位置关系求解.
【详解】因为过点和的直线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；
（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.
【小问1详解】
，
当时，，
当时，，也满足上式，
数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
①
②
①②得
，

18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
19、 (1) (2)
【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；
写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解
【详解】解：(1)由，其中；
解得，
又，即，
由得：，
又为真，则，
得：，
故实数x的取值范围为；
由得：命题p：，命题q：，
由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，
A是B的真子集，
所以，即
故实数m取值范围为：.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件结合“当时，”计算作答.
(2)由(1)求出，利用裂项相消法计算得解.
【小问1详解】
数列的前n项和为，，当时，，
当时，，满足上式，则，
所以数列的通项公式是
【小问2详解】
由(1)知，，
所以，
所以数列的前n项和
21、（1）
（2）
【解析】（1）由题意求出即可求解；
（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可
【小问1详解】
因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，
所以椭圆C的焦点，，，
又，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
由，，
得，，
而，
所以，
所以
22、（1）
（2）
【解析】（1）通过基本量列方程组可得；
（2）由裂项相消法可解
【小问1详解】
由题意得
解得，所以数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，则
所以