2026届广西桂林、贺州、崇左三市高二上数学期末监测试题含解析.doc

2026届广西桂林、贺州、崇左三市高二上数学期末监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（）
A.函数的极大值为，无极小值 B.函数的极小值为，无极大值
C.函数的极大值为0，无极小值 D.函数的极小值为0，无极大值
2．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A.48 B.36
C.24 D.18
3．正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（        ）
A. B.
C. D.
4．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
5．在平行六面体中，，，，则（）
A. B.5
C. D.3
6．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）
A. B.
C. D.1
7．已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．设函数，则（ ）
A.1 B.5
C. D.0
9．已知等比数列中，，，则公比（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
11．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
12．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（ ）

A B.
C.16 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________
14．当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程______
15．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______
16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2= 4x经过点A（1，2），直线l：y= kx+ b与抛物线C交于M，N两点.

（1）若，求直线l的方程；
（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b=mk+n（m，n为常数），求m+2n的值.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）设函数，，，求证：.
19．（12分）保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码第x年
1
2
3
4
5
新能源汽车y辆
30
50
70
100
110
（1）建立y关于x的线性回归方程；
（2）假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车
参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
20．（12分）在①(b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)=－1+2sin2 ， ③acosC=b－c ，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求 b+c
21．（12分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴

（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和
22．（10分）p：函数在区间是递增的；q：方程有实数解.
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若“”为真，“”为假，求m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用导数来求得的极值.
【详解】的定义域为，
，
在递增；在递减，
所以的极大值为，没有极小值.
故选：A
2、B
【解析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.
【详解】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位数，有个.
故选：B
3、B
【解析】由正方体表面积求得棱长，再求得正方体的对角线长，即为外接球的直径，从而可得球表面积
【详解】设正方体棱长为，由得，
正方体对角线长，所以其外接球半径为，
球表面积为
故选：B
4、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
5、B
【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以，
所以，
故选：B.

6、B
【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出
【详解】∵，
∴，又平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为
故选：B
7、A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.
【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，
若“对任意的，”，则在上为增函数；
若在上为增函数，则对任意的恒成立，
即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；
由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，
因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A
8、B
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.
9、C
【解析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果.
【详解】由等比中项的性质可得，解得，
又，，
故选：C.
10、C
【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.
【详解】由题意，是的中垂线，故，

由对称性得，则，故，
∴.
故选：C.
11、B
【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.
【详解】根据题意，连接，作图如下：

显然为直角三角形，又，
又点在双曲线上，故可得，
解得，
由勾股定理可得：，即，
即，，故双曲线的离心率为.
故选：B.
12、D
【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求
【详解】∵抛物线方程为，
∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，
∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，
由，可得，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，
∴.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意设所求双曲线的方程为，
∵点在双曲线上，
∴，
∴所求的双曲线方程为，即
答案：
14、
【解析】先求得直线过的定点C，再写出圆的标准方程.
【详解】直线可化为，
则，解得，
所以直线恒过定点，
所以以点C为圆心，半径为圆的标准方程是，
故答案为：
15、
【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.
【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.
故答案为：.
16、
【解析】由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.
【详解】在中，设，，，,，
因为点，点分别是，的中点，所以，，
在中，，在中，，
整理得，
因为是边长为的正三角形，所以，
又因为，所以，由，解得，
所以
又因为是边长为的正三角形，所以，所以，
所以，，两两垂直，
则球为以为棱的正方体的外接球，
则外接球直径为，
所以球的体积为,
故答案为.

【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球的体积，破解关键在于熟悉正三棱锥的结构特征，运用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱锥的棱的关系，继而分析出正三棱锥的外接球是以正三棱锥中互相垂直的三条棱为棱的正方体的外接球，利用正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求解更方便快捷，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）3或
【解析】（1）由可得，则可得直线为，设，然后将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系，由可得，三个式子结合可求出，从而可得直线方程，
（2）将直线方程代入抛物线方程中消去，再利用根与系数的关系表示出，再结合直线方程表示出，由AM⊥AN可得，化简结合前面的式子可求出或，从而可可求出的值，进而可求得答案
【小问1详解】
因为A（1，2），，
所以，
则直线为，设，
由，得，
由，得
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
【小问2详解】
设，由，得，
由，得，
则，
所以，
，
因为AM⊥AN，所以，
所以，
即，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或
18、（1），无极大值
（2）证明见解析
【解析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，进而确定极值点，求得答案；
（2）将要证明的不等式变形为，然后构造函数，利用导数判断其单调性，求其最值，进而证明结论.
【小问1详解】
当时，，,
由得，列表得：

1

-
-
0
+

减
减
极小值
增
由上表可知，无极大值.；
【小问2详解】
证明：，
即证；
∵，则，故只需证，即证
令，
，
得，得，
∴在上递增，在上递减
∴，∴，∴.
19、（1）
（2）46800
【解析】（1）第一步分别算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.
（2）由第一问的结果，带入方程即可算出预估的结果.
【小问1详解】
，，
，
因为，所以，所以
【小问2详解】
预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，
当时，，该地区2022年共有30万辆汽车，所以新能源汽车.
20、（1）
（2）
【解析】（1）选①：化边为角化简求出cos；
选②：利用倍角公式将sin() = − 1 + 2sin2化简为sin = −cos,再利用辅助角公式求解即可；
选③：化边为角化简运算求解
（2）利用面积公式求得，再利用余弦定理可得，计算即可.
【小问1详解】
选①∵
∴sincos= sinCcos+ sincosC= sin(+ C) = sin
∴cos
∵ ∈ ,∴ =
选②∵sin() = − 1 + 2sin2 ,∴sin = −cos
∴sin( + A) = 1
∵A ∈∴A =
选③∵
∴
∴
∵A ∈ ,∴A =
【小问2详解】
∵ ,∴
又∵

∴ 即
21、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即
22、（1）
（2）或
【解析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，再利用基本不等式计算可得；
（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再根据“”为真，“”为假，即可得到真假，或假真，从而得到不等式组，解得即可；
【小问1详解】
解：为真命题，即函数在区间上是递增的
∴在区间上恒成立，
∴在区间上恒成立，
∵，当且仅当时等号成立，
∴的取值范围为.
【小问2详解】
解：为真命题，即方程有实数解
∴
即
∴或
∵“”为真，“”为假
∴真假，或假真
∴或，解得或，
∴的取值范围为或；