线性相关和线性无关专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,设,k,1,k,2,k,s,R,1,2,s,是,n,维向量，,若,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,，,则称,为,向量,或称,可由向量组,1,2,s,线性表出,.,1,2,s,的一个,线性组合,，,第三节 线性相关和线性无关,一、线性表出,1,、线性表出,2,、例题,例,因为,所以 是 和 的线性组合。,设,例,设,请给出它的一种表达式。,解,即,解此线性方程组，得其一般为：,试判断,可否由 线性表出，如果可以，,设,由此可知 可由 线性表出，为了给出一,个表达式，令 则 ，于是有,一般的,可以由 线性表出的充要条件是,下列线性方程组有解：,且表达的方式和解的个数同样多,。,二、线性相关和线性无关,1,、线性相关和线性无关,对于,n,维向量组,1,2,s,，,如果存在不全为,零,的实数,k,1,k,2,k,s,使得,：,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=0,否则，称,1,2,s,线性无关,。,则称,n,维向量组,1,2,s,线性相关,；,所谓,1,2,s,线性无关，,即如果,则必有,k,1,=,k,2,=,k,s,=0,。,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=0,2,、例题,单个非零向量线性无关：事实上，若非零向量,若,则必有 ，所以单个非零向量必线性无关。,例,证明：,n,维基本向量组线性无关：,例,若,得,由此可知，只有 时,所以基本向量组 线性无关。,证明,一般的,判断向量组 是否线性相关，就要看,齐次线性方程组 是否有,非零解。即,设向量组 线性无关，证明向量组,也线性无关（证明略）。,例,三、性质,1,、性质,当,n,2,时，向量组,1,2,n,线性,相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由,其余向量线性表出,。,必要性,证明,k,1,k,2,k,n,，,使,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,n,n,=,0,。,于是,设,1,2,n,线性相关，则有不全为零,的实数,不妨设,k,s,0,性质,1,即,n,可由,1,2,n,1,线性表出,.,若某个向量例如,1,可被其余向量,线,性表出，,不放设,1,=,k,2,2,+,k,3,3,+,+,k,n,n,于是,1,1,+,(,k,2,),2,+,+(,k,n,),n,=,0,其系数,不全为零，故,1,2,n,线性相关,。,充分性,向量组,1,2,n,线性无关的充要条件是,向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。,如果向量组 线性无关，而向量组,线性相关，则向量 可以由向,量组 唯一线性表示。,推论,性质,2,先证向量 可由 线性表出，因为,线性相关，故存在不全为零,的数 ，使得,证明,其中必有 ，否则，若 ，上式成为,这与 线性无关相矛盾，因此,故,即 可由 线性表出。,再证表示方法唯一，如果 还可以表示为,则有,由 线性无关，有,即,所以表示方法唯一。,性质,3,如果向量组 线性相关，则添加,若干个向量以后得到的新的向量组,也线性相关。,因为向量组 线性相关，则存在一组,不全为,0,的数 ，使得,证明,于是有,显然 不全为零，所以向量组,线性相关。,这个定理可以概括为“,部分相关，整体必相关,”。,如果 是一组线性无关的向量，则从,中任意取出若干个向量都是线性无关的。,推论的结论也可概括为“,整体无关，部分必无关,”。,推论,设,r,维向量组,线性无关，则在每个向量上再添上,n-r,个分量，,得到的,n,维向量组,也线性无关。,性质,4,设存在数 ，使得,证明,即有,在前面,n,个等式中，前面,r,个等式表明由于向量组,是线性无关的，所以有,于是上面的方程组只有零解 ，,因此向量组 线性无关。,这个定理可以概括为“,线性无关的向量组其加维向量,组也线性无关,”。,例如,向量组 线性无关，则向量组,也一定线性无关。,推论,设 是,s,个,r,维向量，是添,加了,n-r,个分量的,n,维向量，若 线性,相关，则 必线性相关。,性质,5,n,个,n,维向量,线性相关（无关）的充要条件是行列式,n+1,个,n,维向量必线性相关。,性质,6,向量组,2,、例题,例,1,、向量的个数大于向量的维数，所以向量组是,线性相关的；,2,、由于向量组中含有零向量，则该向量组是线,性相关的；,3,、由于 ，所以 是线性相关的，由,“部分相关，则整体相关”，所以该向量组是线性相,关的。,【,复习思考题,】,1,、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈,你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几,个概念的,.,2,、叙述证明一个向量组线性无关,(,或线性,),的过程,.,3,、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量,组的线性相关性否相同,?,为什么,?,