2025-2026学年云南省重点中学数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025-2026学年云南省重点中学数学高二第一学期期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为
A. B.
C. D.
2．在等差数列中，为其前n项和，，则（ ）
A.55 B.65
C.15 D.60
3．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）
A. B.
C. D.
5．据有关文献记载：我国古代一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数盏，底层的灯数是顶层的倍，则塔的底层共有灯（ ）
A.盏 B.盏
C.盏 D.盏
6．已知，，若，则实数（）
A. B.
C.2 D.
7．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
8．在四面体中，，，，且，，则等于（）
A. B.
C. D.
9．下列双曲线中，以为一个焦点，以为一个顶点的双曲线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A.192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
12．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线上的点到其焦点的最短距离为_________.
14．命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）”的条件：_________，结论:_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.
15．已知O为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则______；若OM垂直AB于点M，且为定值，则点Q的坐标为__________.
16．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上的点作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该椭圆的离心率为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点，；
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点
18．（12分）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元
（1）求比例系数k
（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
（3）当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
19．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.
20．（12分）已知函数（a是常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，求a的取值范围.
21．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.

（1）证明：平面CMN；
（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于A、两点，设，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.
【详解】因为双曲线的离心率，所以，
设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，
因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，
因为，所以，即，
即双曲线的方程为，选B.
【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.
2、B
【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.
故选:B
3、B
【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
4、A
【解析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
5、C
【解析】根据给定条件利用等差数列前n项和公式列式计算即可作答.
【详解】依题意，层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，
，于是得，解得，，
所以塔的底层共有灯盏.
故选：C
6、D
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.
【详解】因，，又，则，解得，
所以实数.
故选：D
7、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
8、B
【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：由题知，

故选：B.
9、C
【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得，即可选择.
【详解】因为双曲线的一个焦点是，故可设双曲线方程为，
且；
又为一个顶点，故可得，解得，
则双曲线方程为：.
故选：.
10、D
【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.
【详解】函数的定义域为

令，解得
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
11、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
12、A
【解析】分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据，求解.
【详解】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
【点睛】此题利用设而不求的方法，找出、、、之间的关系，化简即可得到的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助函数性质计算作答.
【详解】抛物线的焦点，设点为抛物线上任意一点，
于是有，当且仅当时取“=”，
所以当，即点P为抛物线顶点时，取最小值1.
故答案为：1
14、 ①. ②.二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界） ③.真
【解析】由二元一次不等式的意义可解答问题.
【详解】因为，二元一次不等式所表示的区域如下图所示：

所以在的条件下，二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界），此命题是真命题.
故答案为：；二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）；真
15、 ①.-24 ②.
【解析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系可求出，由圆的定义求出圆心即可.
【详解】由，即
解得或（舍去）.
设直线AB的方程为.
由，消去x并整理得,
.
又，，
直线AB恒过定点N(6,0),
OM垂直AB于点M，
点M在以ON为直径圆上.
|MQ|为定值，
点Q为该圆的圆心，又即Q(3,0).
故答案为：；
16、
【解析】根据题意可得，利用推出，进而得出结果.
【详解】由题意知，，将代入方程中，
得，
因为，所以，
整理，得，又，
所以，由，解得.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
【小问1详解】
解：椭圆经过点，，，
，，且焦点在轴上，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，
当点在长轴上时，，，此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程为；
当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程.
综合得椭圆的方程为或.
18、（1）5 （2）8km/h
（3）答案见解析
【解析】（1）列出关系式，根据当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元即可求解;
（2）列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；
（3）讨论x的范围，结合（2）的结论可得答案.
【小问1详解】
设每小时的燃料费为， 则
当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，
代入得.
【小问2详解】
由（1）得. 设全程燃料费为y，
则（），
所以,
令， 解得v＝0（舍去） 或 v＝16，
所以当时，；当时，，
所以当v＝16时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h
【小问3详解】
由（2）得，
若时，则y在区间上单调递减，
当v＝x时，y取得最小值；
若时，则y区间（8，16）上单调递减，在区间上单调递增，
当v＝16时，y取得最小值；
综上，当时，船的实际前进速度为8km/h，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为（x－8）km/h，全程燃料费最省
19、（1）；（2）.
【解析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；
（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值
【详解】解：（1）由题意，函数.
故，
则，
由题意，知，即.
又，则.
，即.
.
（2）由题意，可知，即恒成立，
恒成立.
设，则.
令，解得.
令，解得.
令，解得x.
在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.
.
，
故的最大值为.
【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题
20、（1）函数在上单调递增，在上单调递减，极小值是，无极大值.
（2）
【解析】（1）由当，得到，求导，再由，求解；
（2）将，转化为成立，令，求其最大值即可.
【小问1详解】
解：当时，，定义域为，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得极小值是，无极大值.
【小问2详解】
因为，即成立.
设，则，
当时，，当时,，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,
（1）求出平面的法向量，利用证明即可；
（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
证明：三棱锥中，，，
∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系

∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且
∴，，，，，
设平面的法向量，
，，，
由得
令
得
∴
∵
∴又平面
∴平面；
【小问2详解】
，，
∴平面
∴为平面的法向量
则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角
.
∴平面与平面所成角的余弦值为.
22、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
解：曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即，
根据，
转化为直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：因为满足直线的方程，
将转化为参数方程为（为参数），
代入，得，设A、两点的参数分别为，
则，
所以.