湖南省武冈市第一中学2026届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

湖南省武冈市第一中学2026届高二数学第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“方程为双曲线方程”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A 2 B.3
C.4 D.5
3．已知命题p：，，则命题p的否定为（）
A.， B.，
C.， D.，
4．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1
5．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（）
A. B.
C. D.
6．已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为（）
A.－1 B.
C. D.1
7．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
8．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（）
A. B.
C. D.
9．圆心，半径为的圆的方程是（）
A. B.
C. D.
10．已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　）
A. B.
C D.
11．在等差数列中，若，则（）
A.6 B.9
C.11 D.24
12．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______
14．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列
15．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
16．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆，是圆上一点，过A作直线l交圆C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且A为的中点.
（1）求圆C在点A处的切线方程；
（2）求直线l的方程.
18．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为4，求的周长
20．（12分）已知函数，.
（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.

（1）证明：平面平面PAC；
（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.
22．（10分）已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，
然后根据“小推大”的原则进行判断即可.
【详解】因方程为双曲线方程，所以，
所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.
故选：C.
2、B
【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.
【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，
.
故选：B.
3、D
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：
命题“p：，”的否定式为“，”.
故选：D.
4、A
【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质
【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误
5、C
【解析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案.
【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，

故
故选：C.
6、C
【解析】根据直线的斜率求出其倾斜角可求得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，所以，
因为，所以，
因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，
所以直线的倾斜角为，
则直线的斜率为.
故选：C
7、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
8、D
【解析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.
【详解】由等比数列是递增数列，
若，则，得；
若，则，得；
所以等比数列是递增数列，或，；
故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.
故选：D.
9、D
【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
10、C
【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.
【详解】解：因为不等式解集为，
所以方程的解为或，且，
所以，所以，
所以，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
11、B
【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解
【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以
故选：B
12、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值
【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，
因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，

所以，则 ，
由抛物线的定义可得，
又是的中点，所以到准线的距离为,
故答案为：2
14、
【解析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.
【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，
令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，
即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，
于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，
所以.
故答案为：
15、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
16、##
【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望
【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片
从中随机取出3张，共有种，
设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，
的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，
，
的情况有：
取，另外一个数有5种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有5种取法
的情况一共有：，
，
，
随机变量的数学期望：
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）以直线方程的点斜式去求圆C在点A处的切线方程；
（2）以A为的中点为突破口，设点法去求直线l的方程简单快捷.
【小问1详解】
圆可化为，圆心
因为直线的斜率为，所以圆C在A点处切线斜率为2，
所以切线方程为即.
【小问2详解】
由题意设
因为是中点，所以
将B代入圆C方程得
解得或
当时，，此时l方程为
当时，，此时l方程为
所以l方程为或
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，
平面，，
四边形为菱形且为中点，，又，，
又，，
平面，，平面.
（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则，，
，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，，
，
二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.
19、（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解
（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，∴.
（2）∵的面积为，∴.
由余弦定理得，∴.
故的周长为.
【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题
20、（1）；（2）.
【解析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；
（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，
即；
（2）当时，恒成立等价于,
令,.则，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增，
所以,所以.
即实数a的取值范围为.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角
【小问1详解】
在梯形ABCD中，过点C作于点H.
由，，，，可知，，，.
所以，即，①
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②
由①②及，平面PAC，得平面PAC.
又由平面PCD，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.
设平面PCD的法向量为，
则，取，则，，则.
平面PAB的一个法向量为，
所以，
所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.

22、（1）
（2）
【解析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；
（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；
【小问1详解】
解：由已知可得，，
即点到定点的距离等于到直线的距离，
故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以点的轨迹方程为
【小问2详解】
解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；