2025-2026学年河北省定州市定州中学数学高二第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河北省定州市定州中学数学高二第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆M与直线与都相切，且圆心在上，则圆M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
3．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
4．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
5． “”是“直线和直线垂直”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
6．已知函数，则（）
A. B.0
C. D.1
7．已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）
A B.
C. D.
9．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B.
C. D.
10．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：

甲
乙
丙
丁
甲获胜概率

乙获胜概率

丙获胜概率

丁获胜概率

则甲最终获得冠军的概率是（ ）

A.0.165 B.0.24
C.0.275 D.0.36
11．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
12．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一支
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________
14．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
15．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.

16．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前n项和为满足
（1）求证：是等比数列，并求数列通项公式；
（2）若，数列的前项和为．求证：
18．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.
19．（12分）如图，在长方体中，，，是棱的中点

（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由
20．（12分）已知数列的前项和，且
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前项和为，若，对任意恒成立，求实数的取值范围
21．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：圆上一点P到直线的最大距离为；条件③：
22．（10分）已知数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由题可设，结合条件可得，即求.
【详解】∵圆心在上，
∴可设圆心，又圆M与直线与都相切，
∴，解得，
∴，即圆的半径为1，圆M的方程为.
故选：A.
2、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.
3、C
【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.
【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，，
设平面PEF的法向量，
则，取，得，
设PB与平面PEF所成角为，
则，
∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.
故选：C.

4、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
5、A
【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.
【详解】解：若直线和直线垂直，
则，解得或，
则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.
6、B
【解析】先求导，再代入求值.
详解】，所以.
故选：B
7、B
【解析】根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】由得，
则圆的圆心为，半径，
由，
则圆心到直线的距离，
∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.
故选：B.
8、B
【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
9、A
【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
10、B
【解析】先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果.
【详解】甲最终获得冠军的概率，
故选：B.
11、B
【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.
【详解】
不妨设点为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
因此，即，
所以，即，令
因此，其中，
所以当时，有最大值，最大值为，
故选：B.
【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
二 、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
12、D
【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.
【详解】圆圆心为，半径为，
依题意可知，
结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.
【详解】解：因为函数，则，
所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，
故答案为：.
14、
【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.
【详解】令可得，
若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，
即与的图象有三个不同的交点，
作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，
此时与的图象没有交点，不符合题意；
当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，时，与的图象有一个交点，
所以时与的图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，
可得与的图象有两个不同的交点，
令，则，
由即可得，
由即可得，
所以在单调递增，在单调递减，
作出其图象如图：

当时，，
当
时，可得与的图象有两个不同的交点，
即时，函数有三个零点，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15、 ①. ②.
【解析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.
【详解】分别以为轴建系，设，而,,，
,.

由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.
易得的三个边
即是边长为为的等边三角形，其面积为，
，设平面的一个法向量为，
则有，可取平面的一个法向量为，
根据点的轨迹，可设，
，
所以点到平面的距离，
所以
故答案为：；
16、
【解析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】过点作于，过点作于，

因为，所以，
又因为，所以，故，
又因为，且，所以，
因此，所以，
又因为直线与圆有公共点，所以，故，
即，则，所以，
又因为双曲线的离心率，所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得，结合数列的单调性可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，所以，，则，
因为，则，可得，，，
以此类推，可知对任意的，，所以，，
因此，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得.
【小问2详解】
证明：，
则，其中，所以，数列为单调递减数列，则，
，
，
上式下式，得
，
所以，，因此，.
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）由题可得，然后结合面积公式可得，即求；
（2）通过分类讨论，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.
【小问1详解】
因为点抛物线上，
所以，，
，因为，
故解得，
抛物线方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线为，得，.
，，
则.
当直线的斜率存在时，设直线为，设，，
联立得：
因为，
所以，.
所以

，
所以直线与的斜率之积为定值.
19、 (1) 证明见解析（2）（3）存点，
【解析】(1) 先证明平面，由平面，可证明结论.
(2) 以分别为轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求求解即可.
(3) 设，,则，则由向量法结合条件可得答案.
【详解】（1）在长方体中，,
又，所以平面
又平面,所以.
(2) 以分别为轴，建立空间直角坐标系
因为，，是棱的中点
则
则为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量.
,
所以，即
取，可得
所以
如图平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.
(3)设，，则
由（2）平面的一个法向量
设与平面所成角为
则
解得 ，取
所以存在点，满足条件.

20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用可得答案；
（2）利用错位相减可得，转化为对任意，恒成立，求出的最大值可得答案
小问1详解】
当时，由，得或（舍去），
由，得，①
当时，，②
由①－②，得，
整理得，
因为，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，③
，④
由③－④，得
，
即，
由得，所以，即，
该式对任意恒成立，因此，
所以的取值范围是
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据圆心在过点，的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；
（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选②根据圆上一点P到直线的最大距离为可求得答案，选③先利用向量的数量积可求得，解法就和选①时相同.
【小问1详解】
由题意可知，圆心在点的中垂线上，
该中垂线的方程为，于是，由，
解得圆心，圆C的半径
所以，圆C的方程为；
【小问2详解】
①，因为，，
所以圆心C到直线l的距离，则，解得，
②，圆上一点P到直线的最大距离为，可知圆心C到直线l的距离
则，解得，
③，因为，所以，
得，又，所以圆心C到直线l的距离，
则，解得
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.
【小问1详解】
依题意，，，则当时，，
于是得：，即，
而当时，，即有，因此，，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，
从而有，
所以.