江苏省扬州市江大桥中学2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省扬州市江大桥中学2026届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
2．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A.3 B.5
C.6 D.10
3．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（）
A.；5 B.；
C.； D.；
4．在等比数列中，，，则等于（ ）
A.90 B.30
C.70 D.40
5．已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
6．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）
A.或 B.或
C.或 D.或
7．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
11．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（）
A. B.
C. D.
12． “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆和直线.
（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.
14．过点作圆的切线l，直线与l平行，则直线l过定点_________，与l间的距离为____________
15．不等式的解集是___________.
16．设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，则a与b的大小关系为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
18．（12分）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切
（1）求圆的方程；
（2）圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.
20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC的中点

（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值
21．（12分）在①，②是与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答
问题：已知数列{}的前n项和为，，且满足___
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}前n项和
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
22．（10分）已知数列满足，
（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.

故选：A
2、B
【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】因为数列为等差数列，
由，可得，，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.
3、B
【解析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.
【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，
.
故选：B
4、D
【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.
【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.
故选：D
5、C
【解析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m的值.
【详解】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得：，故，解得：.
故选：C
6、C
【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.
【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，
，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，
∴，
又点到直线：的距离为，
∴，即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，
故选：C
7、A
【解析】方程化为圆锥曲线（椭圆与双曲线）标准方程的形式，然后由方程表示双曲线可得不等关系
【详解】解：方程可化为，它表示双曲线，则，解得.
故选：A
8、D
【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
9、C
【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.
【详解】解：因为数列为等差数列，所以，
因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，
因为，所以，
所以，解得，
所以
故选：C
【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.
10、D
【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.
【详解】由题意知，，且
点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线
故，故
，由双曲线定义有
由勾股定理有
故
则
则，故
故渐近线方程为：
故选：D
【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系
11、C
【解析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.
【详解】由题意，可得，
因为，所以，
又，所以，
在△中，，即，
由余弦定理，可得，
整理得，则，即，解得，
因为，所以.

故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：
（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；
（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.
12、C
【解析】∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”，“方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”，∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）直线过定点P（4，3），直线和圆总有两个不同交点
（2）k=1，
【解析】(1)把直线方程化为点斜式方程即可；
(2) 由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.
【小问1详解】
直线方程可化为 ，则直线过定点P（4，3），
又圆C标准方程为，圆心为，半径为，
而，所以点P在圆内，
所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点.
【小问2详解】
由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.
，所以k=1时弦长最短.
弦长为.
14、 ①. ②.##2.4
【解析】利用直线与平行，结合切线的性质求出切线的方程，即可确定定点坐标，再利用两条平行线间的距离公式求两线距离.
【详解】由题意，直线斜率，
设直线的方程为，即
∴直线l过定点，
由与圆相切，得，解得，
∴的方程为，的方程为，则两直线间的距离为
故答案为：；.
15、##
【解析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.
【详解】原不等式等价于，解得,
故答案为：.
16、a＞b
【解析】构造函数F(x)＝xf(x)，利用F(x)的单调性求解即可.
【详解】设函数F(x)＝xf(x)，
∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，
∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，
又∵30.3＞1，logπ3＜1，
∴30.3＞logπ3，
∴F(30.3)＞F(logπ3)，
∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，
∴a＞b.
故答案为：a＞b.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.
（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.
【小问1详解】
如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，即；
【小问2详解】
设平面的法向量为
因为，
由，得，令，则
所以平面的一个法向量为，又
所以
故直线与平面所成角的正弦值为
18、（1）
（2）存在，或
【解析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；
（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.
【小问1详解】
解：因为圆与轴的交点分别为，，
所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，
又圆与直线，都相切，
所以，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
解：假设圆上存在点满足，
则，即①，
又，即②，
联立①②可得或，
所以存在点或满足.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据周长可求，再根据离心率可求，求出后可求椭圆的方程.
（2）当直线轴时，计算可得的面积的最大值为，直线不垂直轴时，可设，联立直线方程和椭圆方程可求，设与平行且与椭圆相切的直线为：，结合椭圆方程可求的关系，从而求出该直线到直线的距离，从而可求的面积的最大值为.
【详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为，
∴，，又离心率为，∴， ，
所以椭圆方程为.
（2）当直线轴时，；
当直线不垂直轴时，设，
，，
∴.
设与平行且与椭圆相切的直线为：，
，
∵，
∴，
∴距的最大距离为，
∴，
综上，面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）在平面中构造与平行的直线，利用线线平行推证线面平行即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，利用向量法即可求得两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取中点为，连接，如下所示：

因为为正方形，为中点，故可得//；
在△中，因为分别为的中点，故可得//；
故可得//，则四边形为平行四边形，即//，
又面面，故//面.
【小问2详解】
因为面面，故可得，
又底面为正方形，故可得，则两两垂直；
故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：

故可得，
设平面的法向量为，又
则，即，不妨取，则，则，
取面的法向量为，
故.
设平面的夹角为，故可得，
即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)选①，可得数列为等差数列，求出，由，可得数列的通项公式为
选②是与的等比中项，可得，由，可得，从而利用累乘法求得数列的通项公式为
选③，由，可得，则数列为等差数列，从而求出通项公式
(2)由(1)知，求出，利用错位相减求和法求出
小问1详解】
选①.因为，，
所以是首项为1，公差为1的等差数列
则，从而
当时，，
经检验，当时，也符合上式．所以
选②.因为是与的等比中项
所以，
当时，，
两式相减得，
整理得，
所以，
经检验，也符合上式，所以
选③.由题设，得，
两式相减，得，
整理，得，
因为．所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以
【小问2详解】
由(1)知，，所以，
所以，
则
两式相减，得
，
所以
22、（1）；（2）存在，3
【解析】(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；
(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得，即求
【详解】（1）证明：∵，
又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以bn＝1+(n－1)×1＝n，
由，得
（2）解：∵，，
所以，
依题意，要使对于n∈N*恒成立，
只需，解得m≥3或m≤-4
又m＞0，所以m≥3，
所以正整数m的最小值为3