辽宁省沈阳市第12025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

辽宁省沈阳市第12025-2026学年高二上数学期末学业质量监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.−1 D.−3
2．设数列的前项和为，若，，，则、、、中，最大的是（ ）
A. B.
C. D.
3．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（ ）

A.样本容量为240
B.若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C.总体中对方式二满意学生约为300人
D.样本中对方式一满意的学生为24人
4．有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（）
A. B.
C. D.
5．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　)
A.128 B.129
C.47 D.0
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
7．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
8．已知函数在处取得极小值，则（ ）
A. B.
C. D.
9．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）
A.9 B.8
C.7 D.6
10．给出如下四个命题正确的是（）
①方程表示的图形是圆；
②椭圆的离心率；
③抛物线的准线方程是；
④双曲线的渐近线方程是
A.③ B.①③
C.①④ D.②③④
11．抛物线的准线方程是
A.x=1 B.x=-1
C. D.
12．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（）
A.1 B.
C.1或 D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列满足，则__________.
14．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.
15．在空间直角坐标系Oxyz中，点在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，则四面体PABC的体积为______________.
16．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，
在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．（12分）在等比数列中，已知，
（1）若，求数列的前项和；
（2）若以数列中的相邻两项，构造双曲线，求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同
19．（12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）
（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：
表1：
生产能力分组

人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组

人数
6
y
36
18
①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

图1A类工人生产能力的频率分布直方图　　图2B类工人生产能力的频率分布直方图
20．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
21．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面PAD；
（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；
22．（10分）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：B

2、C
【解析】求出的表达式，解不等式可得结果.
【详解】由已知可得，故数列为等差数列，且公差为，
所以，，令可得.
因此，当时，最大.
故选：C.
3、B
【解析】利用扇形统计图和条形统计图可求出结果
【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；
选项B，根据题意得自主学习的满意率，错误；
选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为，该选项正确；
选项D，样本中对方式一满意人数为，该选项正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题
4、B
【解析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.
【详解】记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后抽到有奖票.
所以，，于是.
故选：B.
5、A
【解析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可
【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝
故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题
6、C
【解析】根据题干条件得到相似，进而得到，求出点P到准线l的距离.
【详解】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.
故选：C
7、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
8、A
【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.
【详解】
由条件可知，，，
解得：，，
检验，时，
当，得或，函数的单调递增区间是和，
当，得，所以函数的单调递减区间是，
所以当时，函数取得极小值，满足条件.
所以.
故选：A
9、A
【解析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
10、A
【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。
【详解】对于①选项，，，故①错误；
对于②选项，由题知，所以，所以离心率，
故②错误；
对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，
故③正确；
对于④选项，双曲线化为标准形式得，
所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.
故选：A
11、C
【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程
【详解】解：整理抛物线方程得，∴p＝
∵抛物线方程开口向上，
∴准线方程是y＝﹣
故答案为C
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题
12、A
【解析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆焦点在轴上，
依题意得
解得.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；
【详解】∵①
时，②
①-②得，
时，满足上式，.
故答案为：.
【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.
14、
【解析】因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.
考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.
15、2
【解析】将物体放入长方体中，切割处理求得体积.
【详解】
如图所示：四面体PABC可以看成以1,2,3为棱长的长方体切去四个全等的三棱锥，
所以四面体PABC的体积为.
故答案为：2
16、##0.5
【解析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意，，，所以.
故答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）无论选择哪个条件答案均为；
（2）.
【解析】（1）先根据题设条件求解，然后根据选择的条件求解；
（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.
【小问1详解】
设的公差为，因为，；
所以，解得，
所以.
选①：设的公比为，则；
由题意得，
因为，所以，解得或（舍）；所以.
选②：由，当时，，因为，所以；
当时，，整理得；
即是首项和公比均为2的等比数列，所以.
选③：因为，，所以，解得；
所以.
【小问2详解】
由（1）得；
所以
.
18、（1）；
（2）证明过程见解析.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前项和公式进行求解即可；
（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，因此，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，在双曲线中，
，所以得，
因此双曲线的渐近线方程为：，
双曲线的离心率为：，
所以双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.
19、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1
【解析】（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.
【详解】（1）由已知可得：抽样比，
故类工人中应抽取：人，
类工人中应抽取：人，
（2）①由题意知，得，
，得
满足条件的频率分布直方图如下所示：

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小
②，

类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1
【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力
20、（1）；（2）存在，，.
【解析】（1）根据椭圆E： （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.
【详解】（1）因为椭圆E： （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，
所以，解得，
所以，
所以椭圆E的方程为.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，
设该圆的切线方程为，联立得，
则△=，即
，
，，
要使，需使，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以，即或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，
所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，
综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.
因为，
所以，

，
①当时，，
因为，所以，所以，
所以，当且仅当时取”=”.
② 当时，.
③ 当AB的斜率不存在时， 两个交点为或，所以此时，
综上， |AB |的取值范围为，即：
【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (k为直线斜率)
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零
21、（1）证明见详解
（2）
【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；
（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.
【小问1详解】
四边形ABCD为正方形

平面PAD，平面PAD
平面PAD
同理，，平面PAD
又平面，平面
平面平面PAD
平面
平面PAD
【小问2详解】
延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.
易知，，，，
因为平面ABCD，所以，
所以
因为，所以
由得：
即，得
所以
22.
22、（1）（2）（3）直线方程为 4x+3y-23=0，弦长为
【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长
试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，
两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 + ，
由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=
（2）由两圆的圆心距d= ="5" 等于两圆的半径之差为|- |，
即| - |=5，可得 - ="5" （舍去），或 - =-5，解得m=
（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d==2，可得弦长为
考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题