湖北省武汉市武昌区2025-2026学年数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

湖北省武汉市武昌区2025-2026学年数学高二上期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知直线与平行，则系数（）
A. B.
C. D.
3．函数f(x)＝－1＋lnx，对∀x0，f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是（）
A(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
4．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
5．双曲线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为
A. B.
C. D.
8．设，分别为具有公共焦点与椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A. B.1
C.2 D.不确定
9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
10．函数单调减区间是（）
A. B.
C.和 D.
11．已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
12．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（）
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)

（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件
14．已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________
15．若与直线垂直，那么__________
16．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x轴交于点P．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值
19．（12分）已知函数
（1）若在上单调递减，求实数a的取值范围
（2）若是方程的两个不相等的实数根，证明：
20．（12分）动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.
21．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
22．（10分）已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：在上恒成立
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.
【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，
而，因此，，
即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，
从而有，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：A
2、B
【解析】由直线的平行关系可得，解之可得
【详解】解：直线与直线平行，
，解得
故选：
3、B
【解析】由导数求得的最小值，由最小值非负可得的范围
【详解】定义域是，，
若，则在上恒成立，单调递增，，不合题意；
若，则时，，递减，时，，递增，
所以时，取得极小值也是最小值，
由题意，解得
故选：B
4、A
【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积
【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，
作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，
∵底面是正三角形，，平面
∴，，∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，∴，
又∵，而，且，平面，∴平面，
∴平面，∴，
因为S−ABC是正三棱锥。所以，
以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，
则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，
所以.
故选：A.

5、C
【解析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.
【详解】，焦点在轴上，，故焦点坐标为.
故选：C.
6、B
【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.
【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，
故可得对任意的，；
又，则，
故在单调递减，在单调递增，
又，，
则当时，,.
对任意的，，即，恒成立.
也即，不妨令，
则，故在单调递增，在单调递减.
故，则只需.
故选：B.
7、A
【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.
考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；
8、C
【解析】根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a②
又∵，
∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，
可得，
所以=.
故选：C
9、C
【解析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.
【详解】由题设，易知：，

由知：，即，整理得：.
故选：C
10、B
【解析】根据函数求导，然后由求解.
【详解】因为函数，
所以，
由，解得，
所以函数的单调递减区间是，
故选：B
11、A
【解析】根据等差数列的通项公式，分别表示出，，整理即可得答案.
【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，
，，
，

故选:A
12、A
【解析】利用正弦定理可求解.
【详解】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，
则，，.
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）（2）（3）
【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件
【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.
故答案为（1）（2）（3）.
14、
【解析】由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为，则另一渐近线ON的方程为．设，
∵，
∴，
∴，解得
∴点M的坐标为，
又，
∴，整理得，
∴双曲线的渐近线方程为
答案：
点睛：
（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程
（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程
15、
【解析】由两条直线垂直知，
得
16、
【解析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程，结合，然后解出方程即可
（2）设直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理表示出，两点的坐标关系，并表示出为直线斜率的函数，然后求出的最大值
【小问1详解】
由椭圆过点，则有：
由可得：
解得：
则椭圆的方程为：
【小问2详解】
由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点
则直线的斜率不为，设直线的方程为：
设，，联立直线方程和椭圆方程
整理可得：
故是恒成立的
根据韦达定理可得：，
则有：

由，可得：
所以的最大值为：
18、（1）直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
【小问1详解】
解：直线的参数方程为为参数），
转换为直角坐标方程，
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为；
小问2详解】
直线转换为参数方程为为参数），代入，
得到，
所以，，
所以
19、（1）；
（2）详见解析
【解析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；
（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.
【小问1详解】
，
，在上单调递减，
在上恒成立，即，
即在，
设，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，所以；
【小问2详解】
若是方程两个不相等的实数根，
即又2个不同实数根，且，，
得，即 ，
所以，
不妨设，则，
要证明，
只需证明，
即证明，即证明，
令，，
令函数，
所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，，
所以 ，即，即得
【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.
20、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线的定义可得结论；
（2）设，得PA的两点式方程为，由在抛物线上，化简直线方程为，然后由圆心到切线的距离等于半径得出的关系式，并利用得出点满足的等式，同理设得方程，最后由直线方程的定义可得直线方程
【小问1详解】
由题意得动点M到点的距离等于到直线的距离，
所以曲线C是以为焦点，为准线的抛物线.
设，则，于是C的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，设，
PA的两点式方程为.
由，，可得.
因为PA与D相切，所以，整理得.
因为，可得.
设，同理可得
于是直线AB的方程为.
21、（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；
（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.
【小问1详解】
证明：连接BD，设BD与AC交于点O，
连接PO．因为，所以

四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则
又，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以
【小问2详解】
因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，
以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，
所以，，，
设平面AEC的法向量，则，
即，令，则
平面ACD的法向量，，
所以二面角为；
【小问3详解】
存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：
由（2）得，，
设，则，
所以点F到平面AEC的距离，
解得，，所以
22、（1）单调减区间为，单调增区间为；
（2）证明见解析.
【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；
（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.
【小问1详解】
因为，故可得，又为单调增函数，
令，解得，故当时，；当时，，
故的单调减区间为，单调增区间为.
【小问2详解】
当时，，要证，即证，
又，则只需证，即证，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最大值；
令，，又为单调增函数，且时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，取得最小值.
则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，
即，也即时恒成立.
【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.