湖南省会同县第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

湖南省会同县第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
2．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.0 B.1
C.4 D.0或4
3．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
5．已知数列中，，，是的前n项和，则（）
A. B.
C. D.
6． “，”的否定是　　
A.， B.，
C.， D.，
7．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为
A.3 B.2
C.4 D.
8．双曲线的焦距是（　　）
A.4 B.
C.8 D.
9．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）
A. B.
C. D.
10．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）
A. B.数列是等比数列
C. D.
11．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（ ）
A. B.1
C. D.2
12．若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数据6，8，9，10，7的方差为______
14．在等比数列中，已知，则__________
15．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.

16．过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求.
18．（12分）已知抛物线的准线方程是.
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.
19．（12分）曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：
20．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
21．（12分）已知函数
（1）填写函数的相关性质；

定义域
值域
零点
极值点
单调性
性质

（2）通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数
22．（10分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：
若，且为真，求实数x的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设，由抛物线的方程可得准线方程为，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出，解出纵坐标，进而求出
【详解】由题意可得，
解得，
代入抛物线的方程，解得，
所以的坐标，
故选：C.
2、A
【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
故选：A.
3、B
【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
4、D
【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
5、D
【解析】由，得到为递增数列，又由，得到，化简，即可求解.
【详解】解：由，得，
又，所以，所以，即，所以数列为递增数列，
所以，得，即，
又由是的前项和，则

.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查数列求和问题，关键在于由已知条件得出，运用裂项相消求和法.
6、D
【解析】通过命题的否定的形式进行判断
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“， ”的否定是“， ”.
故选D.
【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.
7、A
【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.
【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，
显然，当三点共线时，的值最小；
因为，，准线，
所以当三点共线时，，所以.
故选A

【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.
8、C
【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.
【详解】解：由题意可得，，
∴，
故选：C
【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.
9、B
【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误
故选：B
10、D
【解析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；
【详解】，，故A错误；
，，显然数列不是等比数列，故B错误；
，故C错误；
，，故D成立；
故选：D
11、B
【解析】利用余弦定理即得
【详解】由余弦定理，得，
解得AC=1
故选：B.
12、D
【解析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.
【详解】设
由已知可得，，
因此，.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】首先求出数据的平均值，再应用方差公式求它们的方差.
【详解】由题设，平均值为，
∴方差.
故答案为：2.
14、32
【解析】根据已知求出公比即可求出答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以.
故答案为：32.
15、 ①. ②.
【解析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.
【详解】分别以为轴建系，设，而,,，
,.

由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.
易得的三个边
即是边长为为的等边三角形，其面积为，
，设平面的一个法向量为，
则有，可取平面的一个法向量为，
根据点的轨迹，可设，
，
所以点到平面的距离，
所以
故答案为：；
16、
【解析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.
【详解】解：由得，所以圆的圆心为，
所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案.
（2）设，，直接联立方程得，再结合韦达定理，利用弦长公式和点到线的距离公式得，点M到直线的距离，进而可得.
【详解】解：（1）由题意得，，
结合，解得
所以椭圆的方程为：.
（2）由得
即，经验证.
设，.
所以，，
故
因为点M到直线的距离，
所以.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON
试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，
所以 ， 解得，
所以 抛物线的方程为.
（Ⅱ）证明：设，.
将代入，
消去整理得 .
所以 .
由，，两式相乘，得 ，
注意到，异号，所以 .
所以直线与直线的斜率之积为，
即 .
考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程
19、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由椭圆定义可得到，再利用斜率公式及直线的斜率之积等于，列出方程，化简对比系数可得；
（2）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，利用可得到T在定直线上，且该直线是的中垂线即可得到证明.
【小问1详解】
因为C上的点M满足，
所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且，即，，
所以，
设，则，①
所以直线的斜率，直线的斜率，
由已知得，
即，②
由①②得，
所以C的方程为
【小问2详解】
当直线l的斜率为0时，A与重合，B与重合，，，
成立.
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为
联立方程组，消x整理得
所以，解得或
设，则，
由，得，所以
设，由，得，
所以，
所以，
所以点T在直线上，且，
所以是等腰三角形，且，
所以，
综上，

【点睛】关键点点晴：本题第二问突破点是证明T在定直线上，且该直线是的垂直平分线，从而得到，考查学生的数学运算能力，转化化归思想.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意求出首项和公比即可得出通项公式；
（2）可得是等差数列，利用等差数列前n项和公式即可求出.
【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，
由题意得，解得，
因此，；
（2），
则，
所以，数列是等差数列，首项，
记数列前项和为，
则.
21、（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】（1）利用导数判断函数的性质；
（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为，即转化为与的交点个数.
【小问1详解】
函数的定义域是，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，
当时，，当时，，
函数的值域是，
，得，所以函数的零点是，

定义域
值域
零点
极值点
单调性
性质

单调递增区间，单调递减区间
【小问2详解】函数的图象如图，

，即，方程解的个数，即与的交点个数，
当时，无交点，即方程无实数根；
当或时，有一个交点，即方程有一个实数根；
当时，有两个交点，即方程有两个实数根.
22、 (1) (2)
【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；
写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解
【详解】解：(1)由，其中；
解得，
又，即，
由得：，
又为真，则，
得：，
故实数x的取值范围为；
由得：命题p：，命题q：，
由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，
A是B的真子集，
所以，即
故实数m取值范围为：.
【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题