2026届甘肃省兰州市甘肃一中高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届甘肃省兰州市甘肃一中高二数学第一学期期末学业质量监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A. B.
C. D.
2．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
3．已知函数，则（）
A.函数的极大值为，无极小值 B.函数的极小值为，无极大值
C.函数的极大值为0，无极小值 D.函数的极小值为0，无极大值
4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释

A.如果，，那么
B.如果，那么
C.对任意实数和，有，当且仅当 时等号成立
D.如果，那么
5．下列命题中的假命题是（ ）
A.，
B.存在四边相等的四边形不是正方形
C.“存在实数，使”的否定是“不存在实数，使”
D.若且，则，至少有一个大于
6．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（）
A. B.
C. D.
7．椭圆上的一点M到其左焦点的距离为2，N是的中点，则等于（ ）

A.1 B.2
C.4 D.8
8．已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的值是( )
A. B.
C. D.
9．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）
A. B.
C. D.
11．下列命题中正确的是（ ）
A.抛物线 的焦点坐标为
B.抛物线 的准线方程为 x =−1
C.抛物线 的图象关于 x 轴对称
D.抛物线 的图象关于 y 轴对称
12．已知，设函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆上的点到直线的距离的最大值为__________.
14．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________
15．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
16．已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
18．（12分）已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点
（1）求实数m的值；
（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，E为中点

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.
21．（12分）已知椭圆经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程
22．（10分）已知等差数列满足；正项等比数列满足，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列满足，的前n项和为，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.
【详解】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：

所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D
2、B
【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.
【详解】双曲线，，，
因为双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，解得，
所以，，，.
故选：B
3、A
【解析】利用导数来求得的极值.
【详解】的定义域为，
，
在递增；在递减，
所以的极大值为，没有极小值.
故选：A
4、C
【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.
【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：

则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，
由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，
所以，当且仅当时等号成立，
所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.
故选：C
5、C
【解析】利用简易逻辑的知识逐一判断即可.
【详解】，故A正确；
菱形的四边相等，但不一定是正方形，故B正确；
“存在实数，使”的否定是“对任意的实数都有”，故C错误；
假设且，则，与矛盾，故D正确；
故选：C
6、D
【解析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.
【详解】由等比数列是递增数列，
若，则，得；
若，则，得；
所以等比数列是递增数列，或，；
故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.
故选：D.
7、C
【解析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得即可.
【详解】由椭圆方程，得，
由椭圆定义得，又，
，又为的中点，为的中点，
线段为中位线，
∴.
故选：C.
8、B
【解析】根据等差数列和等比数列下标和的性质即可求解.
【详解】为等比数列，，
，，；
为等差数列，，
，，，
∴.
故选：B.
9、D
【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，
根据双曲线的定义知，，
而，所以或
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
10、B
【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率
【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，
基本事件总数，
点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个，
则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为
故选：B
11、C
【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；
抛物线 的准线方程为，故B错误；
抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；
故选：C.
12、D
【解析】由题设易知上恒成立，而在上，讨论、，结合导数研究的最值，由不等式恒成立求的取值范围.
【详解】由时，在上；
由时，在上递减，值域为；
令且，则，
当时，，即递增，值域为，满足题设；
当时，在上，即递减，在上，即递增，此时值域为；
当，即时存在，而在中，此时，不合题设；
所以，此时要使的不等式恒成立，只需，即，可得；
综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：由题设易知上，只需在上恒有即可.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先求得圆心到直线的距离，结合圆上的点到直线的距离的最大值为，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
14、
【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
15、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：
16、
【解析】可得四边形为矩形，运用三角函数的定义可得，，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式求解即可.
【详解】、为双曲线的左、右焦点，
可得四边形为矩形，
在中，，∴，
在中，，可得，，

∴，
∴，
∵，∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：得出四边形为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.
(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，
则有，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，则，
即有，
所以.
18、（1）2；（2）﹒
【解析】(1)根据已知条件得，，结合离心率，即可解得答案
(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案
【小问1详解】
由题意可得，，，
∵离心率，
∴，
∵，
∴，解得
【小问2详解】
由(1)知，椭圆，上焦点，
设，，，，直线的方程为：，
联立，得，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
当且仅当，即时等号成立，
∴为原点)面积的最大值为
19、（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）设与交于点，连结，易证，再利用线面平行的判断定理即可证得答案；
（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判断定理即可.
【小问1详解】
连接交于，连接
因为底面是正方形，所以为中点，
因为在中，是的中点，
所以，
因为平面平面，所以平面
【小问2详解】
侧棱底面底面，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为与为平面内两条相交直线，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.

20、 (1) ；(2)
【解析】（1）由离心率得到，由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，得到，进而可求出结果；
（2）先由题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，得到，，再由以为直径的圆过坐标原点，得到，进而可求出结果.
详解】(1)由题意知，
∴，即 ，
又双曲线的焦点坐标为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，
所以，∴，
故椭圆的方程为.
(2)解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由得：
由得：
设，则，，
∴
因为以为直径的圆过坐标原点，
所以，

.满足条件
故.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，解决此类问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.
21、（1）
（2）
【解析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；
(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.
【小问1详解】
椭圆经过点，
则，解得，

【小问2详解】
设l的方程为：
与圆相切

设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，

22、（1），
（2）8
【解析】（1）利用已知的关系把替换成，再把两式作差后整理即得通项公式，的通项公式可由已知条件建立基本量的方程求解.
（2）由的通项公式可判断，，，当时，所有正项的和即为的最大项的值.
小问1详解】
，
，
两式相减得
所以，又也满足，
故；
设等比数列的公比为，
由得，即，
因为，即，，（负值舍去），
所以
【小问2详解】
由题意，，
则，，，且当时，
所以的最大值是.